3. 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于点F,连接DF。
(1)求证:$∠ BAC = ∠ DAC$,$∠ AFD = ∠ CFE$；
(2)若$AB// CD$,求证:四边形ABCD是菱形；
(3)在(2)的条件下,试确定点E的位置,使$∠ EFD = ∠ BCD$,并说明理由。

(1) 在△ABC 和△ADC 中,AB = AD,BC = DC,AC = AC,
∴ △ABC≌△ADC(SSS),
∴ ∠BAC = ∠DAC。在△ABF 和△ADF 中,AB = AD,∠BAF = ∠DAF,AF = AF,
∴ △ABF ≌ △ADF (SAS),
∴ ∠AFD = ∠AFB。
∵ ∠AFB = ∠CFE,
∴ ∠AFD = ∠CFE
(2)
∵ AB // CD,
∴ ∠BAC = ∠ACD。又
∵ ∠BAC = ∠DAC,
∴ ∠CAD = ∠ACD,
∴ AD = CD。
∵ AB = AD,CB = CD,
∴ AB = CB = CD = AD,
∴ 四边形 ABCD 是菱形
(3) 当EB⊥CD时,∠EFD = ∠BCD。理由如下:
∵ 四边形 ABCD 为菱形,
∴ BC = CD,∠BCF = ∠DCF。在△BCF 和△DCF 中,BC = CD,∠BCF = ∠DCF,CF = CF,
∴ △BCF≌ △DCF (SAS),
∴ ∠CBF = ∠CDF。
∵ BE⊥CD,
∴ ∠BEC = ∠DEF = 90°,
∴ ∠EFD = 90°-∠CDF,∠BCD = 90°-∠CBF,
∴ ∠EFD = ∠BCD

【分析】
(1) 要证明∠BAC=∠DAC，观察已知条件AB=AD、CB=CD，且AC是△ABC和△ADC的公共边，可通过SSS判定两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等即可得证；要证明∠AFD=∠CFE，首先∠CFE与∠AFB是对顶角，二者天然相等，因此只需证明∠AFD=∠AFB，结合已得的∠BAC=∠DAC，再加上AB=AD、AF为公共边，可通过SAS判定△ABF≌△ADF，得到∠AFD=∠AFB，等量代换即可得证。
(2) 要证明四边形ABCD是菱形，已知AB=AD、CB=CD，只需证明四条边长度相等即可；由AB//CD可得内错角∠BAC=∠ACD，结合(1)中已证的∠BAC=∠DAC，可推出∠ACD=∠DAC，进而得到AD=CD，因此AB=CB=CD=AD，四条边相等的四边形是菱形，即可得证。
(3) 要确定E的位置使得∠EFD=∠BCD，首先结合菱形的性质：BC=CD，AC平分∠BCD，可先通过SAS证明△BCF≌△DCF，得到∠CBF=∠CDF；若BE⊥CD，则△BEC和△DEF均为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，可得∠BCD=90°-∠CBF，∠EFD=90°-∠CDF，代入∠CBF=∠CDF即可得到∠EFD=∠BCD，因此当E满足EB⊥CD时符合要求。
【解析】
(1) 在△ABC 和△ADC 中，
$\{\begin{array}{l}AB = AD\\BC = DC\\AC = AC\end{array} $
∴ △ABC≌△ADC(SSS)，
∴ ∠BAC = ∠DAC。
在△ABF 和△ADF 中，
$\{\begin{array}{l}AB = AD\\∠BAF = ∠DAF\\AF = AF\end{array} $
∴ △ABF ≌ △ADF (SAS)，
∴ ∠AFD = ∠AFB。
∵ ∠AFB = ∠CFE（对顶角相等），
∴ ∠AFD = ∠CFE。
(2)
∵ AB // CD，
∴ ∠BAC = ∠ACD（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠BAC = ∠DAC，
∴ ∠CAD = ∠ACD，
∴ AD = CD（等角对等边）。
∵ AB = AD，CB = CD，
∴ AB = CB = CD = AD，
∴ 四边形 ABCD 是菱形（四条边相等的四边形是菱形）。
(3) 当EB⊥CD时，∠EFD = ∠BCD。理由如下：
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴ BC = CD，∠BCF = ∠DCF（菱形的对角线平分一组对角）。
在△BCF 和△DCF 中，
$\{\begin{array}{l}BC = CD\\∠BCF = ∠DCF\\CF = CF\end{array} $
∴ △BCF≌ △DCF (SAS)，
∴ ∠CBF = ∠CDF。
∵ BE⊥CD，
∴ ∠BEC = ∠DEF = 90°，
∴ ∠EFD = 90°-∠CDF，∠BCD = 90°-∠CBF，
∴ ∠EFD = ∠BCD。
【答案】
(1) ∠BAC = ∠DAC，∠AFD = ∠CFE得证；
(2) 四边形ABCD是菱形得证；
(3) 当EB⊥CD时，∠EFD = ∠BCD，理由如上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是几何综合类基础题，设问层层递进，前问结论可作为后问的推导依据，重点考查全等三角形、菱形的核心知识，解题时需梳理已知条件和图形性质，注重逻辑推导的严谨性，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

我们已经知道:菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半,那么,如果是对角线互相垂直的任意一个四边形,还有这样的结论吗?
如图,四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直,垂足为点O。若BD的长为15,AC的长为20,求四边形ABCD的面积。

结论:对角线互相垂直的四边形的面积等于。

$S_{四边形ABCD} = S_{△ ADC} + S_{△ BAC} = \frac{1}{2}AC · OD + \frac{1}{2}AC · OB = \frac{1}{2}AC(OD + OB) = \frac{1}{2}AC · BD = \frac{1}{2} × 20 × 15 = 150$。
其对角线长的乘积的一半

【分析】
要求对角线互相垂直的四边形ABCD的面积，可采用分割法将不规则四边形转化为两个熟悉的三角形求解：将四边形拆分为△ADC和△ABC，两个三角形拥有公共底AC，高分别为OD和OB，且OD+OB=BD，先分别计算两个三角形的面积再求和，整理后即可得到对应面积公式，最后代入AC、BD的长度计算即可。
【解析】
解：四边形ABCD的面积等于△ADC与△ABC的面积之和，即：
$S_{四边形ABCD} = S_{△ ADC} + S_{△ BAC}$
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AC · OD$，$S_{△ BAC}=\frac{1}{2}AC · OB$
因此：
$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}AC · OD + \frac{1}{2}AC · OB$
提取公因式$\frac{1}{2}AC$，可得：
$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}AC(OD + OB)$
又因为$OD+OB=BD$，因此：
$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}AC · BD$
将$AC=20$，$BD=15$代入上式：
$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2} × 20 × 15 = 150$
由此可总结对应结论。
【答案】
四边形ABCD的面积为150；其对角线长的乘积的一半
【知识点】
三角形面积计算，分割法求图形面积，垂直对角线四边形面积性质
【点评】
本题运用转化思想，将不规则四边形的面积转化为两个三角形的面积和来求解，推导得到的对角线互相垂直的四边形面积公式可作为常用结论，在相关题型中直接使用，能简化计算步骤，提高解题效率。
【难度系数】
0.75