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6. 若菱形的两条对角线长都是4 cm,则菱形的边长是。
答案
$2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题时先回忆菱形的核心性质：菱形的两条对角线互相垂直且平分。依据该性质，两条对角线会把菱形分成4个全等的直角三角形，直角三角形的两条直角边分别为两条对角线长度的一半，而菱形的边长恰好是该直角三角形的斜边，最后用勾股定理计算斜边长度即可得到菱形边长。
【解析】
∵ 菱形的对角线互相垂直且平分，
∴ 两条对角线长度的一半均为：$4÷2=2\ \mathrm{cm}$，
此时菱形的边长可看作直角边为2cm的等腰直角三角形的斜边，设边长为$a$，根据勾股定理可得：
$a^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$
∵ 边长为正数，
∴ $a=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
菱形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础类题型，解题的关键是熟练掌握菱形对角线互相垂直平分的性质，将求菱形边长的问题转化为直角三角形求斜边的问题，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆菱形的核心性质：菱形的两条对角线互相垂直且平分。依据该性质，两条对角线会把菱形分成4个全等的直角三角形，直角三角形的两条直角边分别为两条对角线长度的一半，而菱形的边长恰好是该直角三角形的斜边，最后用勾股定理计算斜边长度即可得到菱形边长。
【解析】
∵ 菱形的对角线互相垂直且平分，
∴ 两条对角线长度的一半均为：$4÷2=2\ \mathrm{cm}$，
此时菱形的边长可看作直角边为2cm的等腰直角三角形的斜边，设边长为$a$，根据勾股定理可得：
$a^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$
∵ 边长为正数，
∴ $a=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
菱形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础类题型，解题的关键是熟练掌握菱形对角线互相垂直平分的性质，将求菱形边长的问题转化为直角三角形求斜边的问题，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
1. 如图,在边长为4的菱形ABCD中,E为AD的中点,连接CE,交对角线BD于点F。若∠DEF=∠DFE,则菱形ABCD的面积为(
A.16
B.$6\sqrt{7}$
C.$12\sqrt{7}$
D.30
B
)。A.16
B.$6\sqrt{7}$
C.$12\sqrt{7}$
D.30
答案
1. B
解析
【分析】
解题可按4步思考：第一步，根据等角对等边，结合已知的∠DEF=∠DFE和E是AD中点，先求出DF的长度；第二步，利用菱形对边平行的性质证明△DEF和△BCF相似，根据相似比求出FB的长度，进而得到对角线BD的总长度；第三步，连接AC与BD交于点O，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，在直角三角形ABO中用勾股定理求出AO的长度，得到AC的总长度；最后用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算出最终面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为4的菱形，
∴AD=BC=AB=4，AD//BC，对角线AC、BD互相垂直平分。
∵E为AD中点，
∴$DE=\frac{1}{2}AD=2$。
∵∠DEF=∠DFE，
∴DF=DE=2。
∵AD//BC，
∴∠DEF=∠BCF，∠EDF=∠CBF，
∴△DEF∽△BCF，相似比为DE:BC=2:4=1:2，
∴DF:FB=1:2，即2:FB=1:2，解得FB=4，
∴BD=DF+FB=2+4=6，
∴$BO=\frac{1}{2}BD=3（O$为AC、BD的交点）。在Rt△ ABO中，$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$，
∴$AC=2AO=2\sqrt{7}$。
∴菱形ABCD的面积$=\frac{1}{2}× BD× AC=\frac{1}{2}×6×2\sqrt{7}=6\sqrt{7}$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理
【点评】
本题综合考查了菱形相关性质、相似三角形的判定和勾股定理的应用，解题的核心是先通过相似关系求出对角线BD的长度，再结合菱形对角线的面积公式计算结果。
【难度系数】
0.65
解题可按4步思考：第一步，根据等角对等边，结合已知的∠DEF=∠DFE和E是AD中点，先求出DF的长度；第二步，利用菱形对边平行的性质证明△DEF和△BCF相似，根据相似比求出FB的长度，进而得到对角线BD的总长度；第三步，连接AC与BD交于点O，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，在直角三角形ABO中用勾股定理求出AO的长度，得到AC的总长度；最后用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算出最终面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为4的菱形，
∴AD=BC=AB=4，AD//BC，对角线AC、BD互相垂直平分。
∵E为AD中点，
∴$DE=\frac{1}{2}AD=2$。
∵∠DEF=∠DFE，
∴DF=DE=2。
∵AD//BC，
∴∠DEF=∠BCF，∠EDF=∠CBF，
∴△DEF∽△BCF，相似比为DE:BC=2:4=1:2，
∴DF:FB=1:2，即2:FB=1:2，解得FB=4，
∴BD=DF+FB=2+4=6，
∴$BO=\frac{1}{2}BD=3（O$为AC、BD的交点）。在Rt△ ABO中，$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$，
∴$AC=2AO=2\sqrt{7}$。
∴菱形ABCD的面积$=\frac{1}{2}× BD× AC=\frac{1}{2}×6×2\sqrt{7}=6\sqrt{7}$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理
【点评】
本题综合考查了菱形相关性质、相似三角形的判定和勾股定理的应用，解题的核心是先通过相似关系求出对角线BD的长度，再结合菱形对角线的面积公式计算结果。
【难度系数】
0.65
2.如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E，F分别为垂足，AE=DE，则∠CBF
答案
30°
解析
【分析】
解题时从已知条件逐步推导：1. 先回忆菱形的核心性质：四条边相等、对角相等；2. 由BE⊥AD且AE=DE，可知BE是AD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AB=BD，结合菱形AB=AD的性质，可推出△ABD是等边三角形，得到∠A的度数；3. 利用菱形对角相等得到∠C的度数，最后在直角△BFC中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠CBF的度数。
【解析】
解：
∵BE⊥AD，AE=DE，
∴BE是AD的垂直平分线，
∴AB=BD。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠C=∠A，
∴AB=AD=BD，即△ABD是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠C=∠A=60°。
又
∵BF⊥CD，
∴∠BFC=90°，
在Rt△BFC中，∠CBF=90°-∠C=90°-60°=30°。
【答案】
30°
【知识点】
菱形的性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是通过垂直平分线的性质推导出等边三角形，得到特殊角的度数，再结合菱形和直角三角形的性质求解，考查学生对特殊几何图形性质的掌握和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时从已知条件逐步推导：1. 先回忆菱形的核心性质：四条边相等、对角相等；2. 由BE⊥AD且AE=DE，可知BE是AD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AB=BD，结合菱形AB=AD的性质，可推出△ABD是等边三角形，得到∠A的度数；3. 利用菱形对角相等得到∠C的度数，最后在直角△BFC中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠CBF的度数。
【解析】
解：
∵BE⊥AD，AE=DE，
∴BE是AD的垂直平分线，
∴AB=BD。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠C=∠A，
∴AB=AD=BD，即△ABD是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠C=∠A=60°。
又
∵BF⊥CD，
∴∠BFC=90°，
在Rt△BFC中，∠CBF=90°-∠C=90°-60°=30°。
【答案】
30°
【知识点】
菱形的性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是通过垂直平分线的性质推导出等边三角形，得到特殊角的度数，再结合菱形和直角三角形的性质求解，考查学生对特殊几何图形性质的掌握和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,MN过点O且与边AD,BC分别交于点M和点N。
(1)请你判断OM和ON的数量关系,并说明理由;
(2)过点D作DE//AC交BC的延长线于点E,当AB=6,AC=8时,求△BDE的周长。
(1)请你判断OM和ON的数量关系,并说明理由;
(2)过点D作DE//AC交BC的延长线于点E,当AB=6,AC=8时,求△BDE的周长。
答案
3. (1) OM = ON,理由略
(2) △BDE 的周长为 20 + 4√5
(2) △BDE 的周长为 20 + 4√5
解析
【分析】
(1) 判断OM和ON的数量关系时，可结合菱形的性质推导：菱形对边平行且对角线互相平分，可得AD//BC、OA=OC，再结合对顶角相等，证明△AOM和△CON全等，即可得到两条线段的数量关系。
(2) 求△BDE的周长，需要分别求出三边BD、DE、BE的长度：首先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出BD的长度；再根据DE//AC、AD//BE判定四边形ACED是平行四边形，得到DE与AC、CE与AD的等量关系，进而求出BE的长度，最后将三边长度相加即可得到周长。
【解析】
(1) $OM = ON$，理由如下：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AD// BC$，$OA=OC$，
∴ $∠ OAM = ∠ OCN$，
在$△ AOM$和$△ CON$中：
$\begin{cases}∠ OAM = ∠ OCN \\OA = OC \\∠ AOM = ∠ CON\end{cases}$
∴ $△ AOM ≌ △ CON$（ASA），
∴ $OM = ON$。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AB=BC=AD=6$，$AC⊥ BD$，$OA=\frac{1}{2}AC=4$，$OB=OD$，
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$OB = \sqrt{AB^2 - OA^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，
∴ $BD = 2OB = 4\sqrt{5}$。
∵ $DE// AC$，$AD// BE$，
∴ 四边形ACED是平行四边形，
∴ $DE=AC=8$，$CE=AD=6$，
∴ $BE = BC + CE = 6 + 6 = 12$，
∴ $△ BDE$的周长 $= BD + DE + BE = 4\sqrt{5} + 8 + 12 = 20 + 4\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $OM=ON$；
(2) $\boxed{20 + 4\sqrt{5}}$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质
【点评】
本题综合考查特殊四边形的相关性质，第一问是全等三角形的基础应用，第二问需要结合菱形、平行四边形的性质和勾股定理求解，能够较好地检验对特殊四边形知识的掌握程度和综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 判断OM和ON的数量关系时，可结合菱形的性质推导：菱形对边平行且对角线互相平分，可得AD//BC、OA=OC，再结合对顶角相等，证明△AOM和△CON全等，即可得到两条线段的数量关系。
(2) 求△BDE的周长，需要分别求出三边BD、DE、BE的长度：首先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出BD的长度；再根据DE//AC、AD//BE判定四边形ACED是平行四边形，得到DE与AC、CE与AD的等量关系，进而求出BE的长度，最后将三边长度相加即可得到周长。
【解析】
(1) $OM = ON$，理由如下：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AD// BC$，$OA=OC$，
∴ $∠ OAM = ∠ OCN$，
在$△ AOM$和$△ CON$中：
$\begin{cases}∠ OAM = ∠ OCN \\OA = OC \\∠ AOM = ∠ CON\end{cases}$
∴ $△ AOM ≌ △ CON$（ASA），
∴ $OM = ON$。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AB=BC=AD=6$，$AC⊥ BD$，$OA=\frac{1}{2}AC=4$，$OB=OD$，
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$OB = \sqrt{AB^2 - OA^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，
∴ $BD = 2OB = 4\sqrt{5}$。
∵ $DE// AC$，$AD// BE$，
∴ 四边形ACED是平行四边形，
∴ $DE=AC=8$，$CE=AD=6$，
∴ $BE = BC + CE = 6 + 6 = 12$，
∴ $△ BDE$的周长 $= BD + DE + BE = 4\sqrt{5} + 8 + 12 = 20 + 4\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $OM=ON$；
(2) $\boxed{20 + 4\sqrt{5}}$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质
【点评】
本题综合考查特殊四边形的相关性质，第一问是全等三角形的基础应用，第二问需要结合菱形、平行四边形的性质和勾股定理求解，能够较好地检验对特殊四边形知识的掌握程度和综合运用能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图，E，F分别是菱形ABCD的边BC，CD上的点，且∠EAF = ∠D = 60°，∠FAD = 45°，求∠CFE的度数。
答案
连接AC,在菱形ABCD中,AB = BC, ∠B = ∠D = 60°,
∴ △ABC 为等边三角形。
∴ AB = AC。
又
∵ ∠BCD = 180° - ∠D = 180° - 60° = 120°,
∴ ∠ACF = 1/2∠BCD = 60°,
∴ ∠B = ∠ACF。
∵ ∠BAC = 60°, 即 ∠BAE + ∠EAC = 60°, ∠EAF = 60°,即∠EAC + ∠CAF = 60°,
∴ ∠BAE = ∠CAF。在△ABE 与 △ACF 中,
∵ ∠B = ∠ACF, AB = AC, ∠BAE = ∠CAF,
∴ △ABE ≅ △ACF ( ASA ),
∴ AE = AF。又
∵ ∠EAF = 60°,
∴ △AEF 是等边三角形,
∴ ∠AFE = 60°。又
∵ ∠AFD = 180° - ∠FAD - ∠D = 180° - 45° - 60° = 75°,
∴ ∠CFE = 180° - ∠AFD - ∠AFE = 180° - 75° - 60° = 45°
∴ △ABC 为等边三角形。
∴ AB = AC。
又
∵ ∠BCD = 180° - ∠D = 180° - 60° = 120°,
∴ ∠ACF = 1/2∠BCD = 60°,
∴ ∠B = ∠ACF。
∵ ∠BAC = 60°, 即 ∠BAE + ∠EAC = 60°, ∠EAF = 60°,即∠EAC + ∠CAF = 60°,
∴ ∠BAE = ∠CAF。在△ABE 与 △ACF 中,
∵ ∠B = ∠ACF, AB = AC, ∠BAE = ∠CAF,
∴ △ABE ≅ △ACF ( ASA ),
∴ AE = AF。又
∵ ∠EAF = 60°,
∴ △AEF 是等边三角形,
∴ ∠AFE = 60°。又
∵ ∠AFD = 180° - ∠FAD - ∠D = 180° - 45° - 60° = 75°,
∴ ∠CFE = 180° - ∠AFD - ∠AFE = 180° - 75° - 60° = 45°
解析
【分析】
解题时首先结合菱形的性质和60°的特殊内角，想到连接AC构造等边三角形，这是解决含60°内角菱形问题的常用辅助线作法。接下来通过角的等量代换找到相等的角，证明△ABE和△ACF全等，推出AE=AF，结合已知∠EAF=60°可判定△AEF为等边三角形，得到∠AFE的度数。再在△AFD中利用三角形内角和求出∠AFD的度数，最后根据平角的定义，用180°减去∠AFD和∠AFE的度数即可求出∠CFE的度数。
【解析】
连接AC，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = BC，∠B = ∠D = 60°，∠BCD = 180° - ∠D = 120°，
∴ △ABC为等边三角形，
∴ AB = AC，∠BAC = 60°，∠ACF = $\frac{1}{2}$∠BCD = 60°，
∴ ∠B = ∠ACF。
∵ ∠EAF = 60°，即∠EAC + ∠CAF = 60°，
又
∵ ∠BAC = ∠BAE + ∠EAC = 60°，
∴ ∠BAE = ∠CAF。
在△ABE和△ACF中：
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠ACF \\AB = AC \\∠BAE = ∠CAF\end{array} $
∴ △ABE ≅ △ACF (ASA)，
∴ AE = AF。
又
∵ ∠EAF = 60°，
∴ △AEF是等边三角形，
∴ ∠AFE = 60°。
在△AFD中，∠AFD = 180° - ∠FAD - ∠D = 180° - 45° - 60° = 75°，
∵ 点F在CD上，∠DFA + ∠AFE + ∠CFE = 180°，
∴ ∠CFE = 180° - ∠AFD - ∠AFE = 180° - 75° - 60° = 45°。
【答案】
45°
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是菱形角度计算的典型题型，解题的核心是掌握含60°内角的菱形的结构特点，合理添加辅助线构造全等三角形与等边三角形，将未知角转化为可求的已知角的和差关系，能较好地考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合菱形的性质和60°的特殊内角，想到连接AC构造等边三角形，这是解决含60°内角菱形问题的常用辅助线作法。接下来通过角的等量代换找到相等的角，证明△ABE和△ACF全等，推出AE=AF，结合已知∠EAF=60°可判定△AEF为等边三角形，得到∠AFE的度数。再在△AFD中利用三角形内角和求出∠AFD的度数，最后根据平角的定义，用180°减去∠AFD和∠AFE的度数即可求出∠CFE的度数。
【解析】
连接AC，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = BC，∠B = ∠D = 60°，∠BCD = 180° - ∠D = 120°，
∴ △ABC为等边三角形，
∴ AB = AC，∠BAC = 60°，∠ACF = $\frac{1}{2}$∠BCD = 60°，
∴ ∠B = ∠ACF。
∵ ∠EAF = 60°，即∠EAC + ∠CAF = 60°，
又
∵ ∠BAC = ∠BAE + ∠EAC = 60°，
∴ ∠BAE = ∠CAF。
在△ABE和△ACF中：
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠ACF \\AB = AC \\∠BAE = ∠CAF\end{array} $
∴ △ABE ≅ △ACF (ASA)，
∴ AE = AF。
又
∵ ∠EAF = 60°，
∴ △AEF是等边三角形，
∴ ∠AFE = 60°。
在△AFD中，∠AFD = 180° - ∠FAD - ∠D = 180° - 45° - 60° = 75°，
∵ 点F在CD上，∠DFA + ∠AFE + ∠CFE = 180°，
∴ ∠CFE = 180° - ∠AFD - ∠AFE = 180° - 75° - 60° = 45°。
【答案】
45°
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是菱形角度计算的典型题型，解题的核心是掌握含60°内角的菱形的结构特点，合理添加辅助线构造全等三角形与等边三角形，将未知角转化为可求的已知角的和差关系，能较好地考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
