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菱形除具有平行四边形的所有性质外，还具有一些特殊性质:(1)菱形的四条边
菱形除具有平行四边形的所有性质外，还具有一些特殊性质:(1)菱形的四条边
相等
;(2)菱形的对角线互相垂直
。答案
1. 相等
2. 互相垂直
2. 互相垂直
解析
【分析】
本题考查菱形的特殊性质，解题思路如下：首先回忆菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。①推导边的性质：平行四边形本身具备对边相等的性质，结合菱形邻边相等的特点，可得出菱形四条边的特殊性质；②推导对角线的性质：普通平行四边形的对角线仅互相平分，菱形作为特殊的平行四边形，对角线具有额外的特殊性质，回忆对应知识点即可填空。
【解析】
(1) 因为菱形是有一组邻边相等的平行四边形，平行四边形对边相等，由此可推得菱形的四条边都相等，故本空填“相等”。
(2) 菱形的对角线除具备平行四边形互相平分的性质外，特殊性质为互相垂直，故本空填“互相垂直”。
【答案】
(1)相等；(2)互相垂直
【知识点】
菱形的定义；菱形边的性质；菱形对角线的性质
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对菱形特殊性质的记忆，是后续解决菱形相关证明、计算类问题的基础，需要熟练掌握相关性质。
【难度系数】
0.9
本题考查菱形的特殊性质，解题思路如下：首先回忆菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。①推导边的性质：平行四边形本身具备对边相等的性质，结合菱形邻边相等的特点，可得出菱形四条边的特殊性质；②推导对角线的性质：普通平行四边形的对角线仅互相平分，菱形作为特殊的平行四边形，对角线具有额外的特殊性质，回忆对应知识点即可填空。
【解析】
(1) 因为菱形是有一组邻边相等的平行四边形，平行四边形对边相等，由此可推得菱形的四条边都相等，故本空填“相等”。
(2) 菱形的对角线除具备平行四边形互相平分的性质外，特殊性质为互相垂直，故本空填“互相垂直”。
【答案】
(1)相等；(2)互相垂直
【知识点】
菱形的定义；菱形边的性质；菱形对角线的性质
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对菱形特殊性质的记忆，是后续解决菱形相关证明、计算类问题的基础，需要熟练掌握相关性质。
【难度系数】
0.9
1. 如图,某木制活动衣帽架是由三个全等的菱形组成的,根据实际需要可以调节A,E间的距离。若A,E间的距离调节到60 cm,菱形ABCD的边长AB=20 cm,则∠DAB的度数是(
A.$90°$
B.$100°$
C.$120°$
D.$150°$
C
)。A.$90°$
B.$100°$
C.$120°$
D.$150°$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先结合三个全等菱形的特征，先求出单个菱形的水平对角线AC的长度，再结合菱形边长相等的性质，判断出△ABC为等边三角形，最后利用菱形对角线平分内角的性质即可求出∠DAB的度数。
【解析】
解：
∵该衣帽架由3个全等的菱形组成，A、E间的距离为60cm，
∴单个菱形的水平对角线长度$\boldsymbol{AC = 60÷3 = 20\mathrm{cm}}$，
∵四边形ABCD是菱形，$AB=20\mathrm{cm}$，
∴$AB=BC=20\mathrm{cm}$，
∴$AB=BC=AC=20\mathrm{cm}$，即$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ BAC=60°$，
又
∵菱形的对角线平分一组内角，
∴$∠ DAB=2∠ BAC=2×60°=120°$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；全等图形的性质
【点评】
本题结合生活中的活动衣帽架考查几何性质的应用，解题的关键是根据全等菱形的特征求出单个菱形的对角线长度，再结合等边三角形和菱形的性质推导角度，属于基础题，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合三个全等菱形的特征，先求出单个菱形的水平对角线AC的长度，再结合菱形边长相等的性质，判断出△ABC为等边三角形，最后利用菱形对角线平分内角的性质即可求出∠DAB的度数。
【解析】
解：
∵该衣帽架由3个全等的菱形组成，A、E间的距离为60cm，
∴单个菱形的水平对角线长度$\boldsymbol{AC = 60÷3 = 20\mathrm{cm}}$，
∵四边形ABCD是菱形，$AB=20\mathrm{cm}$，
∴$AB=BC=20\mathrm{cm}$，
∴$AB=BC=AC=20\mathrm{cm}$，即$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ BAC=60°$，
又
∵菱形的对角线平分一组内角，
∴$∠ DAB=2∠ BAC=2×60°=120°$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；全等图形的性质
【点评】
本题结合生活中的活动衣帽架考查几何性质的应用，解题的关键是根据全等菱形的特征求出单个菱形的对角线长度，再结合等边三角形和菱形的性质推导角度，属于基础题，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7
2. 菱形中较大角是较小角的5倍，高为4 cm，则这个菱形的周长为
32 cm
。答案
2. 32 cm
解析
【分析】
解题时先从菱形的内角性质入手：菱形的邻角互补，结合“较大角是较小角的5倍”的条件可求出较小内角的度数；再根据菱形的高与边构成含30°角的直角三角形，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出菱形的边长；最后根据菱形四边相等的性质计算周长即可。
【解析】
解：设菱形的较小内角为$x$，则较大内角为$5x$。
∵ 菱形的邻角互补，
∴ $x + 5x = 180°$，
解得$x = 30°$。
∵ 菱形的高为4cm，过菱形顶点作对边的高可得到直角三角形，其中30°内角所对的直角边为高4cm，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得菱形的边长为$4 × 2 = 8\mathrm{cm}$。
∵ 菱形的四条边长度相等，
∴ 菱形的周长为$4 × 8 = 32\mathrm{cm}$。
【答案】
32 cm
【知识点】
菱形的性质；含30°角的直角三角形的性质；周长计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练掌握菱形的内角、边的性质，结合特殊直角三角形的性质快速求出边长，考查学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先从菱形的内角性质入手：菱形的邻角互补，结合“较大角是较小角的5倍”的条件可求出较小内角的度数；再根据菱形的高与边构成含30°角的直角三角形，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出菱形的边长；最后根据菱形四边相等的性质计算周长即可。
【解析】
解：设菱形的较小内角为$x$，则较大内角为$5x$。
∵ 菱形的邻角互补，
∴ $x + 5x = 180°$，
解得$x = 30°$。
∵ 菱形的高为4cm，过菱形顶点作对边的高可得到直角三角形，其中30°内角所对的直角边为高4cm，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得菱形的边长为$4 × 2 = 8\mathrm{cm}$。
∵ 菱形的四条边长度相等，
∴ 菱形的周长为$4 × 8 = 32\mathrm{cm}$。
【答案】
32 cm
【知识点】
菱形的性质；含30°角的直角三角形的性质；周长计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练掌握菱形的内角、边的性质，结合特殊直角三角形的性质快速求出边长，考查学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边AB,BC上的点,BE=BF,求证:∠DEF=∠DFE。
答案
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AB = BC = CD = AD,∠A = ∠C。
∵ BE = BF,
∴ AB - BE = BC - BF,
∴ AE = CF。在△DAE 和 △DCF 中,DA = DC, ∠A = ∠C,AE = CF,
∴ △DAE ≅ △DCF ( SAS )。
∴ DE = DF。
∴ ∠DEF = ∠DFE
解析
【分析】
要证明∠DEF=∠DFE，首先观察这两个角是△DEF的两个内角，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，只需证明DE=DF即可。要得到DE=DF，可通过证明DE和DF所在的△DAE与△DCF全等实现：结合菱形的性质可知AD=CD、∠A=∠C，再根据已知BE=BF，可推出AE=CF，刚好满足SAS全等的判定条件，证得三角形全等后即可得到DE=DF，进而推出待证的等角结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = BC = CD = AD，∠A = ∠C。
∵ BE = BF，
∴ AB - BE = BC - BF，即AE = CF。
在△DAE 和 △DCF 中，
$\begin{cases} DA = DC \\ ∠ A = ∠ C \\ AE = CF \end{cases}$
∴ △DAE ≅ △DCF（SAS），
∴ DE = DF，
∴ ∠DEF = ∠DFE。
【答案】
∠DEF=∠DFE
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是结合待证结论逆向推导所需的条件，将等角证明转化为等线段证明，再结合全等三角形和特殊四边形的性质求解，需要熟练掌握常见的全等判定方法和特殊几何图形的性质。
【难度系数】
0.8
要证明∠DEF=∠DFE，首先观察这两个角是△DEF的两个内角，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，只需证明DE=DF即可。要得到DE=DF，可通过证明DE和DF所在的△DAE与△DCF全等实现：结合菱形的性质可知AD=CD、∠A=∠C，再根据已知BE=BF，可推出AE=CF，刚好满足SAS全等的判定条件，证得三角形全等后即可得到DE=DF，进而推出待证的等角结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = BC = CD = AD，∠A = ∠C。
∵ BE = BF，
∴ AB - BE = BC - BF，即AE = CF。
在△DAE 和 △DCF 中，
$\begin{cases} DA = DC \\ ∠ A = ∠ C \\ AE = CF \end{cases}$
∴ △DAE ≅ △DCF（SAS），
∴ DE = DF，
∴ ∠DEF = ∠DFE。
【答案】
∠DEF=∠DFE
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是结合待证结论逆向推导所需的条件，将等角证明转化为等线段证明，再结合全等三角形和特殊四边形的性质求解，需要熟练掌握常见的全等判定方法和特殊几何图形的性质。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,有下列结论:①$AC ⊥ BD$;②$OA = OB$;③$∠ ADB = ∠ CDB$;④$△ ABC$是等边三角形。其中一定成立的是(
A.①②
B.③④
C.②③
D.①③
D
)。A.①②
B.③④
C.②③
D.①③
答案
4. D
解析
【分析】
解决本题的核心是熟练掌握菱形的基本性质，逐一判断每个结论是否对所有菱形都成立，避免将特殊菱形的性质当作普遍性质。首先回忆菱形的核心性质：对角线互相垂直平分、每条对角线平分一组对角、四条边相等，再对四个结论逐个验证即可。
【解析】
根据菱形的性质逐一判断：
1. 菱形的对角线互相垂直，因此$AC⊥BD$，结论①成立；
2. 菱形的对角线互相平分，即$OA=OC$、$OB=OD$，但菱形的对角线不一定相等，因此$OA$与$OB$不一定相等，结论②不成立；
3. 菱形的每条对角线平分一组内角，$BD$是对角线，平分$∠ ADC$，因此$∠ ADB=∠ CDB$，结论③成立；
4. 菱形中$AB=BC$，但$∠ ABC$不一定为$60°$，因此$△ ABC$不一定是等边三角形，结论④不成立。
综上，一定成立的是①③。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，重点考查菱形性质的应用，解题时要注意区分菱形与其他特殊平行四边形的性质差异，不要混淆“对角线互相垂直”和“对角线相等”的适用图形，判断结论是否成立时要考虑普遍情况，不能将特殊菱形的性质当成所有菱形的共性。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是熟练掌握菱形的基本性质，逐一判断每个结论是否对所有菱形都成立，避免将特殊菱形的性质当作普遍性质。首先回忆菱形的核心性质：对角线互相垂直平分、每条对角线平分一组对角、四条边相等，再对四个结论逐个验证即可。
【解析】
根据菱形的性质逐一判断：
1. 菱形的对角线互相垂直，因此$AC⊥BD$，结论①成立；
2. 菱形的对角线互相平分，即$OA=OC$、$OB=OD$，但菱形的对角线不一定相等，因此$OA$与$OB$不一定相等，结论②不成立；
3. 菱形的每条对角线平分一组内角，$BD$是对角线，平分$∠ ADC$，因此$∠ ADB=∠ CDB$，结论③成立；
4. 菱形中$AB=BC$，但$∠ ABC$不一定为$60°$，因此$△ ABC$不一定是等边三角形，结论④不成立。
综上，一定成立的是①③。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，重点考查菱形性质的应用，解题时要注意区分菱形与其他特殊平行四边形的性质差异，不要混淆“对角线互相垂直”和“对角线相等”的适用图形，判断结论是否成立时要考虑普遍情况，不能将特殊菱形的性质当成所有菱形的共性。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在菱形$ABCD$中,$AB=5$,$AC=6$,过点$D$作$DE ⊥ BA$,交$BA$的延长线于点$E$,则$DE$的长为(
A.$\dfrac{12}{5}$
B.$\dfrac{18}{5}$
C.$4$
D.$\dfrac{24}{5}$
D
)。A.$\dfrac{12}{5}$
B.$\dfrac{18}{5}$
C.$4$
D.$\dfrac{24}{5}$
答案
5. D
解析
【分析】
要计算DE的长度，我们可以结合菱形的性质求解：首先菱形的对角线互相垂直平分，可先借助勾股定理求出另一条对角线BD的长度；再利用菱形面积的两种计算方法（对角线乘积的一半、底乘对应高）建立等量关系，代入数值即可求出DE。
【解析】
设AC与BD交于点O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$，$AB=AD=5$，
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
∴$BD=2BO=2×4=8$。
菱形ABCD的面积可通过两种方式计算：
① 对角线乘积的一半：$S=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×6×8=24$；
② 底乘高：$S=AB× DE$。
联立得$5× DE=24$，解得$DE=\frac{24}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题型，解题核心是灵活运用菱形面积的两种计算方法，结合勾股定理求出未知对角线长度，即可快速算出高的长度，解题时要注意菱形对角线互相平分性质的正确应用。
【难度系数】
0.7
要计算DE的长度，我们可以结合菱形的性质求解：首先菱形的对角线互相垂直平分，可先借助勾股定理求出另一条对角线BD的长度；再利用菱形面积的两种计算方法（对角线乘积的一半、底乘对应高）建立等量关系，代入数值即可求出DE。
【解析】
设AC与BD交于点O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$，$AB=AD=5$，
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
∴$BD=2BO=2×4=8$。
菱形ABCD的面积可通过两种方式计算：
① 对角线乘积的一半：$S=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×6×8=24$；
② 底乘高：$S=AB× DE$。
联立得$5× DE=24$，解得$DE=\frac{24}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题型，解题核心是灵活运用菱形面积的两种计算方法，结合勾股定理求出未知对角线长度，即可快速算出高的长度，解题时要注意菱形对角线互相平分性质的正确应用。
【难度系数】
0.7
