学习任务一 多项式的有关概念
从旧知到新知
1.多项式:几个单项式的叫作多项式.
2.多项式的项:每个单项式叫作多项式的,不含字母的项叫作.
3.多项式的次数:多项式里,次数的项的次数,叫作这个多项式的次数.

1. 和
2. 项 常数项
3. 最高

【分析】
本题考查多项式相关的基础概念，属于识记类题目，解题时直接对应教材中给出的多项式、多项式的项、多项式的次数的定义逐一填空即可：
1. 回忆多项式的形成：多项式是由多个单项式相加得到的，对应第一空；
2. 回忆多项式的组成部分：每个构成多项式的单项式是它的组成单元，也就是项，其中不含字母的项数值固定，对应后两空；
3. 回忆多项式次数的判定规则：多项式的次数由所有项中次数最高的项决定，对应第三空。
【解析】
1. 根据多项式的定义：几个单项式的和叫作多项式，因此第一空填“和”；
2. 根据多项式项的相关定义：每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项数值固定，叫作常数项，因此第二、三空依次填“项”“常数项”；
3. 根据多项式次数的定义：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数，因此第四空填“最高”。
【答案】
1. 和
2. 项 常数项
3. 最高
【知识点】
多项式的定义；多项式的项与常数项；多项式的次数
【点评】
本题属于基础概念考察题，是整式章节的入门知识点，熟练掌握相关定义是后续学习整式加减、整式乘除等内容的前提，需要准确记忆、理解到位。
【难度系数】
0.9

学习任务二 整式的概念
与统称整式。

单项式 多项式

【分析】
本题考查整式的基本定义类识记考点，解题时首先回忆整式的分类范畴：整式是代数式中除式不含字母的一类式子，共包含两大类别，分别是仅由数与字母的乘积构成的单项式，以及由多个单项式相加组成的多项式，这两类共同组成整式，只要牢记该定义内容即可作答。
【解析】
根据整式的定义可知：单项式与多项式统称整式。
【答案】
单项式 多项式
【知识点】
整式的定义；单项式的概念；多项式的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对基础定义的记忆熟练度，属于整式章节的入门必掌握内容。
【难度系数】
0.9

【例1】指出下列各代数式中的多项式、整式：
$ab - c, ax^2 + bx + c, -5, -3π xy, \frac{a - 2b}{3}, \frac{x}{5}, \frac{4}{x}, \frac{5}{y + 2}.$
解:
【规律方法】
(1)单项式不含加减运算，多项式必含有加减运算.
(2)多项式是几个单项式的和，单项式和多项式都是整式.
(3)分母中含有字母(π除外)的式子一般不是整式.

多项式有 $ab - c, ax^2 + bx + c, \frac{a - 2b}{3}$。整式有 $ab - c, ax^2 + bx + c, -5, -3π xy, \frac{a - 2b}{3}, \frac{x}{5}$。

【分析】
解题时首先要明确单项式、多项式、整式的定义及三者的关系：①单项式是数与字母的乘积，单独的数或字母也是单项式；②多项式是几个单项式的和；③单项式和多项式统称为整式，且分母中含有字母（π为常数，不属于字母）的式子不是整式。解题步骤：第一步先排查所有式子，排除分母含字母的非整式；第二步对剩余的整式进行分类，含有加减运算的整式就是多项式，其余为单项式，最后按要求归类即可。
【解析】
先明确相关概念：
1. 单项式：由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也属于单项式，单项式不含加减运算；
2. 多项式：几个单项式的和叫做多项式，多项式含有加减运算；
3. 整式：单项式和多项式统称为整式，分母中含有字母（π是常数，除外）的代数式不属于整式。
逐个分析所给代数式：
（1）$ab - c$：是单项式$ab$与$-c$的和，含加减运算，属于多项式，也属于整式；
（2）$ax^2 + bx + c$：是单项式$ax^2$、$bx$、$c$的和，含加减运算，属于多项式，也属于整式；
（3）$-5$：单独的常数，属于单项式，是整式；
（4）$-3π xy$：是常数$-3π$与$x、y$的乘积，属于单项式，是整式；
（5）$\frac{a - 2b}{3}$：可变形为$\frac{1}{3}a - \frac{2}{3}b$，是两个单项式的和，含加减运算，属于多项式，也属于整式；
（6）$\frac{x}{5}$：是常数$\frac{1}{5}$与$x$的乘积，属于单项式，是整式；
（7）$\frac{4}{x}$：分母含字母$x$，不属于整式，也不是多项式；
（8）$\frac{5}{y + 2}$：分母含字母$y$，不属于整式，也不是多项式。
综上可得出对应的多项式和整式。
【答案】
多项式有 $ab - c, ax^2 + bx + c, \frac{a - 2b}{3}$。整式有 $ab - c, ax^2 + bx + c, -5, -3π xy, \frac{a - 2b}{3}, \frac{x}{5}$。
【知识点】
多项式的概念，整式的概念，单项式的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握单项式、多项式、整式的定义，易错点是误将π当作字母、误将分母仅含常数的式子判定为非整式，解题时注意逐一排查即可得分。
【难度系数】
0.8

变式训练
1.有下列代数式：①$\frac{1}{2}ab$；②$\frac{a+b}{2}$；③$ab + b^2 +1$；④$\frac{2}{a}+3b -5$.其中是多项式的有 （）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

B

【分析】
要判断哪些是多项式，首先要明确相关概念：整式包括单项式和多项式，分母中含有字母的代数式不属于整式；多项式是几个单项式的和。解题时我们先逐个判断每个代数式是否为整式，再从整式中筛选出多项式即可。
【解析】
我们逐个分析4个代数式：
1. 对于①$\frac{1}{2}ab$：它是数$\frac{1}{2}$与字母a、b的乘积，属于单项式，不是多项式；
2. 对于②$\frac{a+b}{2}$：可变形为$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b$，是两个单项式的和，属于多项式；
3. 对于③$ab + b^2 +1$：是单项式$ab$、$b^2$、1的和，属于多项式；
4. 对于④$\frac{2}{a}+3b -5$：其中$\frac{2}{a}$的分母含有字母a，不属于整式，因此该代数式不是整式，也不是多项式。
综上，属于多项式的有②和③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
多项式的判定、整式的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，易错点是容易误将分母含字母的代数式当作整式，或把单项式错认成多项式，解题时要先判断代数式是否为整式，再判断是否为多项式。
【难度系数】
0.8

2.有下列代数式:①$a^2+5$;②$-3$;③$\frac{5}{x}$;④$a^2-3a+2$;⑤$π$.其中是整式的有 （）

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

C

【分析】
解题时首先回忆整式的判定规则：整式是单项式和多项式的统称，其中单独的数或字母、数与字母的乘积属于单项式，几个单项式的和属于多项式，分母中含有字母的式子不属于整式，另外需注意π是固定常数，不属于字母变量。接下来逐个判断给出的5个代数式是否符合整式的要求，最后统计整式的个数匹配对应选项即可。
【解析】
我们逐个分析每个代数式的类型：
1. ①$a^2+5$是多项式，属于整式；
2. ②$-3$是单独的常数，属于单项式，是整式；
3. ③$\frac{5}{x}$的分母含有字母$x$，属于分式，不是整式；
4. ④$a^2-3a+2$是多项式，属于整式；
5. ⑤$π$是固定常数，属于单项式，是整式。
综上，属于整式的有①②④⑤，共4个。
【答案】
C
【知识点】
整式的定义；单项式的概念；多项式的概念
【点评】
本题是整式识别的基础题型，解题核心是明确整式的判定标准，需要注意规避两个易错点：一是误将圆周率π当作字母，二是误把分母含字母的分式归类为整式。
【难度系数】
0.7

【例2】写出下列各式是几次几项式，并写出次数最高的项、次数最高的项的系数以及常数项.
(1)$7x^2 - 3x^5y - y^3 + 6x - 3y^2 + 1$；
(2)$\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x^2y^2 - 1 + x^4$.
解:

(1)$2m+2n+3$ 它的项分别是$2m,2n,3$,次数是1.
(2)$-a-6$ 它的项分别是$-a,-6$,次数是1.
(3)$(2x-3)$ 它的项分别是$2x,-3$,次数是1.