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变式训练
3. 多项式$-\dfrac{1}{2}x + 3x^2 -5$的各项分别为________，次数最高的项是________，次数是________，常数项是________。
3. 多项式$-\dfrac{1}{2}x + 3x^2 -5$的各项分别为________，次数最高的项是________，次数是________，常数项是________。
答案
解：多项式$-\dfrac{1}{2}x + 3x^2 -5$的各项分别为$-\dfrac{1}{2}x$、$3x^2$、$-5$，次数最高的项是$3x^2$，次数是$2$，常数项是$-5$。
解析
【分析】
解题时先回忆多项式的相关基础概念：①多项式的项：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，注意项要包含它前面的正负符号；②多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数就是该多项式的次数；③常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项。接下来对应概念分析给定多项式：先拆分出所有组成该多项式的单项式，再分别计算每个单项式的次数，找到次数最高的项、确定多项式的次数，最后找出不含字母的常数项即可。
【解析】
1. 找多项式的各项：多项式$-\dfrac{1}{2}x + 3x^2 -5$由三个单项式组成，分别为$-\dfrac{1}{2}x$、$3x^2$、$-5$，即该多项式的各项就是这三个；
2. 计算各单项式的次数：$-\dfrac{1}{2}x$中x的指数为1，次数是1；$3x^2$中x的指数为2，次数是2；$-5$不含字母，次数为0；
3. 确定最高次项和多项式次数：对比可知次数最高的项是$3x^2$，因此该多项式的次数是2；
4. 找常数项：不含字母的项是$-5$，即常数项为$-5$。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}x$、$3x^2$、$-5$；$3x^2$；$2$；$-5$
【知识点】
多项式的项；多项式的次数；常数项
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的易错点是确定多项式的项时容易遗漏项前面的负号，熟记多项式相关基础概念即可快速正确解答。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆多项式的相关基础概念：①多项式的项：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，注意项要包含它前面的正负符号；②多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数就是该多项式的次数；③常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项。接下来对应概念分析给定多项式：先拆分出所有组成该多项式的单项式，再分别计算每个单项式的次数，找到次数最高的项、确定多项式的次数，最后找出不含字母的常数项即可。
【解析】
1. 找多项式的各项：多项式$-\dfrac{1}{2}x + 3x^2 -5$由三个单项式组成，分别为$-\dfrac{1}{2}x$、$3x^2$、$-5$，即该多项式的各项就是这三个；
2. 计算各单项式的次数：$-\dfrac{1}{2}x$中x的指数为1，次数是1；$3x^2$中x的指数为2，次数是2；$-5$不含字母，次数为0；
3. 确定最高次项和多项式次数：对比可知次数最高的项是$3x^2$，因此该多项式的次数是2；
4. 找常数项：不含字母的项是$-5$，即常数项为$-5$。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}x$、$3x^2$、$-5$；$3x^2$；$2$；$-5$
【知识点】
多项式的项；多项式的次数；常数项
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的易错点是确定多项式的项时容易遗漏项前面的负号，熟记多项式相关基础概念即可快速正确解答。
【难度系数】
0.9
【例3】用多项式填空，并指出它们的项和次数.
(1)比$m$的2倍与$n$的2倍的和大3的数是.
(2)有理数$a$的相反数与6的差是.
(3)小明今年$x$岁，爸爸的年龄是小明的2倍，妈妈比爸爸小3岁，则妈妈今年岁.
(1)比$m$的2倍与$n$的2倍的和大3的数是.
(2)有理数$a$的相反数与6的差是.
(3)小明今年$x$岁，爸爸的年龄是小明的2倍，妈妈比爸爸小3岁，则妈妈今年岁.
答案
解：
(1) $2m+2n+3$
该多项式的项是$2m$、$2n$、$3$，次数是1。
(2) $-a-6$
该多项式的项是$-a$、$-6$，次数是1。
(3) $2x-3$
该多项式的项是$2x$、$-3$，次数是1。
(1) $2m+2n+3$
该多项式的项是$2m$、$2n$、$3$，次数是1。
(2) $-a-6$
该多项式的项是$-a$、$-6$，次数是1。
(3) $2x-3$
该多项式的项是$2x$、$-3$，次数是1。
解析
【分析】
解题需分两步完成：第一步先根据题目描述的数量关系列出对应的多项式，第二步结合多项式的项、次数的定义分析对应结果。具体思路如下：
(1) 先分别求出m的2倍（2m）、n的2倍（2n），求和后再加3即可得到对应多项式，再判断项和次数；
(2) 先写出a的相反数是-a，再求与6的差得到多项式，再判断项和次数；
(3) 先根据小明年龄求出爸爸的年龄为2x，再减3得到妈妈的年龄对应的多项式，再判断项和次数。
注意：找多项式的项时要带上单项式前面的符号，多项式的次数取所有项中最高的次数。
【解析】
(1) m的2倍是2m，n的2倍是2n，两者的和为$2m+2n$，比和大3的数为$2m+2n+3$；
该多项式由2m、2n、3三个单项式组成，最高次项的次数为1，因此项是$2m$、$2n$、$3$，次数是1。
(2) a的相反数是$-a$，与6的差为$-a-6$；
该多项式由$-a$、$-6$两个单项式组成，最高次项的次数为1，因此项是$-a$、$-6$，次数是1。
(3) 爸爸的年龄是$2x$岁，妈妈比爸爸小3岁，妈妈年龄为$2x-3$岁；
该多项式由$2x$、$-3$两个单项式组成，最高次项的次数为1，因此项是$2x$、$-3$，次数是1。
【答案】
(1) $2m+2n+3$，项是$2m$、$2n$、$3$，次数是1
(2) $-a-6$，项是$-a$、$-6$，次数是1
(3) $2x-3$，项是$2x$、$-3$，次数是1
【知识点】
列代数式；多项式的项；多项式的次数
【点评】
本题考查代数式的列式以及多项式基本概念的应用，解题核心是准确理解题意中的数量关系，识别多项式项时注意不要遗漏符号。
【难度系数】
0.8
解题需分两步完成：第一步先根据题目描述的数量关系列出对应的多项式，第二步结合多项式的项、次数的定义分析对应结果。具体思路如下：
(1) 先分别求出m的2倍（2m）、n的2倍（2n），求和后再加3即可得到对应多项式，再判断项和次数；
(2) 先写出a的相反数是-a，再求与6的差得到多项式，再判断项和次数；
(3) 先根据小明年龄求出爸爸的年龄为2x，再减3得到妈妈的年龄对应的多项式，再判断项和次数。
注意：找多项式的项时要带上单项式前面的符号，多项式的次数取所有项中最高的次数。
【解析】
(1) m的2倍是2m，n的2倍是2n，两者的和为$2m+2n$，比和大3的数为$2m+2n+3$；
该多项式由2m、2n、3三个单项式组成，最高次项的次数为1，因此项是$2m$、$2n$、$3$，次数是1。
(2) a的相反数是$-a$，与6的差为$-a-6$；
该多项式由$-a$、$-6$两个单项式组成，最高次项的次数为1，因此项是$-a$、$-6$，次数是1。
(3) 爸爸的年龄是$2x$岁，妈妈比爸爸小3岁，妈妈年龄为$2x-3$岁；
该多项式由$2x$、$-3$两个单项式组成，最高次项的次数为1，因此项是$2x$、$-3$，次数是1。
【答案】
(1) $2m+2n+3$，项是$2m$、$2n$、$3$，次数是1
(2) $-a-6$，项是$-a$、$-6$，次数是1
(3) $2x-3$，项是$2x$、$-3$，次数是1
【知识点】
列代数式；多项式的项；多项式的次数
【点评】
本题考查代数式的列式以及多项式基本概念的应用，解题核心是准确理解题意中的数量关系，识别多项式项时注意不要遗漏符号。
【难度系数】
0.8
4.用多项式填空,并指出它的项和次数.
已知一个正方形的边长为$a$ cm,一个长方形的长和宽分别是$b$ cm和$c$ cm,则正方形的面积比长方形的面积多
已知一个正方形的边长为$a$ cm,一个长方形的长和宽分别是$b$ cm和$c$ cm,则正方形的面积比长方形的面积多
$a^2 - bc$
$\mathrm{cm}^2$.答案
4. $a^2 - bc$，它的项分别为$a^2$，$-bc$，次数是2.
解析
【分析】
解题时先明确题目要求：求正方形面积比长方形面积多的量，需先分别求出两个图形的面积，再作差得到多项式，最后根据多项式的项和次数的定义分析该多项式即可。第一步回忆面积公式：正方形面积=边长×边长，长方形面积=长×宽，代入对应字母得到两个面积；第二步用正方形面积减去长方形面积得到代数式；第三步分析多项式：项是组成多项式的每个单项式，需带前面的符号，多项式的次数是最高次项的次数，计算每个单项式的次数后取最大值即可。
【解析】
1. 计算正方形面积：根据正方形面积公式，可得正方形面积为$a · a = a^2 \ (\mathrm{cm}^2)$；
2. 计算长方形面积：根据长方形面积公式，可得长方形面积为$b · c = bc \ (\mathrm{cm}^2)$；
3. 求面积差：正方形面积比长方形面积多的量为正方形面积减去长方形面积，即$a^2 - bc \ (\mathrm{cm}^2)$；
4. 分析多项式$a^2 - bc$的项和次数：
项：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，需包含前面的符号，因此该多项式的项为$a^2$、$-bc$；
次数：单项式$a^2$的次数为2，单项式$-bc$的次数为$1+1=2$，多项式的次数为最高次项的次数，因此该多项式的次数是2。
【答案】
$a^2 - bc$，它的项分别为$a^2$，$-bc$，次数是2.
【知识点】
1. 常见图形面积计算
2. 多项式的项与次数
【点评】
本题结合几何基础计算考查整式的相关概念，属于基础题型，解题时需注意多项式的项不能遗漏前面的符号，计算多项式次数时要准确计算单项式所有字母的指数和。
【难度系数】
0.85
解题时先明确题目要求：求正方形面积比长方形面积多的量，需先分别求出两个图形的面积，再作差得到多项式，最后根据多项式的项和次数的定义分析该多项式即可。第一步回忆面积公式：正方形面积=边长×边长，长方形面积=长×宽，代入对应字母得到两个面积；第二步用正方形面积减去长方形面积得到代数式；第三步分析多项式：项是组成多项式的每个单项式，需带前面的符号，多项式的次数是最高次项的次数，计算每个单项式的次数后取最大值即可。
【解析】
1. 计算正方形面积：根据正方形面积公式，可得正方形面积为$a · a = a^2 \ (\mathrm{cm}^2)$；
2. 计算长方形面积：根据长方形面积公式，可得长方形面积为$b · c = bc \ (\mathrm{cm}^2)$；
3. 求面积差：正方形面积比长方形面积多的量为正方形面积减去长方形面积，即$a^2 - bc \ (\mathrm{cm}^2)$；
4. 分析多项式$a^2 - bc$的项和次数：
项：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，需包含前面的符号，因此该多项式的项为$a^2$、$-bc$；
次数：单项式$a^2$的次数为2，单项式$-bc$的次数为$1+1=2$，多项式的次数为最高次项的次数，因此该多项式的次数是2。
【答案】
$a^2 - bc$，它的项分别为$a^2$，$-bc$，次数是2.
【知识点】
1. 常见图形面积计算
2. 多项式的项与次数
【点评】
本题结合几何基础计算考查整式的相关概念，属于基础题型，解题时需注意多项式的项不能遗漏前面的符号，计算多项式次数时要准确计算单项式所有字母的指数和。
【难度系数】
0.85
1.下列代数式$\frac{1}{x},2x+y,\frac{1}{3}a^2b,\frac{x-y}{π},\frac{5y}{4x},0.5$中，整式有（
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
B
）A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先要明确整式的判定标准：单项式和多项式统称为整式，整式的分母中不含字母（注意π是固定常数，不属于字母）。接下来我们只需逐个判断给出的代数式是否符合整式的要求，统计符合的数量后匹配选项即可。
【解析】
根据整式的定义逐一判断：
1. $\frac{1}{x}$：分母含有字母$x$，属于分式，不是整式；
2. $2x+y$：是几个单项式的和，属于多项式，是整式；
3. $\frac{1}{3}a^2b$：是数与字母的乘积，属于单项式，是整式；
4. $\frac{x-y}{π}$：$π$是常数，分母不含字母，属于多项式，是整式；
5. $\frac{5y}{4x}$：分母含有字母$x$，属于分式，不是整式；
6. $0.5$：是单独的常数，属于单项式，是整式。
综上，整式共有4个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
整式的定义、单项式、多项式
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易误将π当作字母，错判$\frac{x-y}{π}$不是整式，牢记整式的判定规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确整式的判定标准：单项式和多项式统称为整式，整式的分母中不含字母（注意π是固定常数，不属于字母）。接下来我们只需逐个判断给出的代数式是否符合整式的要求，统计符合的数量后匹配选项即可。
【解析】
根据整式的定义逐一判断：
1. $\frac{1}{x}$：分母含有字母$x$，属于分式，不是整式；
2. $2x+y$：是几个单项式的和，属于多项式，是整式；
3. $\frac{1}{3}a^2b$：是数与字母的乘积，属于单项式，是整式；
4. $\frac{x-y}{π}$：$π$是常数，分母不含字母，属于多项式，是整式；
5. $\frac{5y}{4x}$：分母含有字母$x$，属于分式，不是整式；
6. $0.5$：是单独的常数，属于单项式，是整式。
综上，整式共有4个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
整式的定义、单项式、多项式
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易误将π当作字母，错判$\frac{x-y}{π}$不是整式，牢记整式的判定规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
2.多项式$3x^2 - 2x +1$的各项分别是 （
A.$3,2,1$
B.$x^2,x,1$
C.$3x^2,2x,1$
D.$3x^2,-2x,1$
D
）A.$3,2,1$
B.$x^2,x,1$
C.$3x^2,2x,1$
D.$3x^2,-2x,1$
答案
2. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确多项式的项的定义：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，注意项需要包含它前面的符号。接下来我们把给定的多项式$3x^2 - 2x +1$拆分成独立的单项式，拆分时要保留每个单项式前的运算符号，再和选项比对即可得到正确答案。
【解析】
根据多项式项的定义：多项式中的每个单项式（含前面的符号）就是多项式的项。
对多项式$3x^2 - 2x +1$拆分可得：
第一个项是$3x^2$，第二个项是$-2x$（注意前面的减号属于这个项的符号），第三个项是$+1$，可简写为$1$。
因此该多项式的各项为$3x^2,-2x,1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
多项式的项；项的符号确定
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是拆分多项式时容易遗漏项前面的负号，只要牢固掌握多项式项的定义，拆分时注意保留项的符号即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确多项式的项的定义：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，注意项需要包含它前面的符号。接下来我们把给定的多项式$3x^2 - 2x +1$拆分成独立的单项式，拆分时要保留每个单项式前的运算符号，再和选项比对即可得到正确答案。
【解析】
根据多项式项的定义：多项式中的每个单项式（含前面的符号）就是多项式的项。
对多项式$3x^2 - 2x +1$拆分可得：
第一个项是$3x^2$，第二个项是$-2x$（注意前面的减号属于这个项的符号），第三个项是$+1$，可简写为$1$。
因此该多项式的各项为$3x^2,-2x,1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
多项式的项；项的符号确定
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是拆分多项式时容易遗漏项前面的负号，只要牢固掌握多项式项的定义，拆分时注意保留项的符号即可快速得分。
【难度系数】
0.9
3.多项式$1+2xy-3xy^2$的次数及次数最高项的系数分别是（
A.$3,-3$
B.$2,-3$
C.$5,-3$
D.$2,3$
A
）A.$3,-3$
B.$2,-3$
C.$5,-3$
D.$2,3$
答案
3. A
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先明确两个核心概念：①多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数；②最高次项的系数是指次数最高的项的数字因数（包含符号）。解题时我们可以先拆分多项式的每一项，分别计算每一项的次数，找到次数最高的项，再确定它的次数和系数即可。
【解析】
首先拆分多项式$1+2xy-3xy^2$的所有项并计算次数：
1. 第一项是常数项$1$，次数为$0$；
2. 第二项是$2xy$，所有字母的指数和为$1+1=2$，因此次数为$2$；
3. 第三项是$-3xy^2$，所有字母的指数和为$1+2=3$，因此次数为$3$。
对比可得，次数最高的项是$-3xy^2$，因此该多项式的次数为$3$，最高次项的系数为$-3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
多项式的次数，单项式的系数，多项式的项
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握多项式相关的定义，尤其要注意最高次项的系数包含该项前面的符号，避免漏看负号导致出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要先明确两个核心概念：①多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数；②最高次项的系数是指次数最高的项的数字因数（包含符号）。解题时我们可以先拆分多项式的每一项，分别计算每一项的次数，找到次数最高的项，再确定它的次数和系数即可。
【解析】
首先拆分多项式$1+2xy-3xy^2$的所有项并计算次数：
1. 第一项是常数项$1$，次数为$0$；
2. 第二项是$2xy$，所有字母的指数和为$1+1=2$，因此次数为$2$；
3. 第三项是$-3xy^2$，所有字母的指数和为$1+2=3$，因此次数为$3$。
对比可得，次数最高的项是$-3xy^2$，因此该多项式的次数为$3$，最高次项的系数为$-3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
多项式的次数，单项式的系数，多项式的项
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握多项式相关的定义，尤其要注意最高次项的系数包含该项前面的符号，避免漏看负号导致出错。
【难度系数】
0.8
4.若多项式$x^2 - 3xy^2 - 4$的次数是$a$，常数项是$b$，则$a + b$的值为
-1
答案
4. -1
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心概念：①多项式的次数是指多项式里次数最高项的次数；②常数项是指多项式中不含字母的项。第一步先分别计算多项式中每一项的次数，找到最高次确定a的值；第二步找到不含字母的项确定b的值；最后代入计算a+b的结果即可。
【解析】
1. 求a的值：
多项式$x^2 - 3xy^2 - 4$的各项次数分别为：
项$x^2$的次数是2；
项$-3xy^2$的次数是$1+2=3$；
项$-4$是常数项，次数为0。
最高次项的次数是3，因此$a=3$。
2. 求b的值：
多项式中不含字母的项是$-4$，因此常数项$b=-4$。
3. 计算$a+b$：
$a+b=3+(-4)=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
多项式的次数、常数项的定义、有理数加法
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要注意两个易错点：一是计算单项式次数时要累加所有字母的指数，二是确定常数项时不要漏掉负号，掌握相关定义即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确两个核心概念：①多项式的次数是指多项式里次数最高项的次数；②常数项是指多项式中不含字母的项。第一步先分别计算多项式中每一项的次数，找到最高次确定a的值；第二步找到不含字母的项确定b的值；最后代入计算a+b的结果即可。
【解析】
1. 求a的值：
多项式$x^2 - 3xy^2 - 4$的各项次数分别为：
项$x^2$的次数是2；
项$-3xy^2$的次数是$1+2=3$；
项$-4$是常数项，次数为0。
最高次项的次数是3，因此$a=3$。
2. 求b的值：
多项式中不含字母的项是$-4$，因此常数项$b=-4$。
3. 计算$a+b$：
$a+b=3+(-4)=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
多项式的次数、常数项的定义、有理数加法
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要注意两个易错点：一是计算单项式次数时要累加所有字母的指数，二是确定常数项时不要漏掉负号，掌握相关定义即可快速得分。
【难度系数】
0.9
5.用多项式填空，并指出它的项和次数.
小华周末从家里去书店，需要先步行一段路程，再坐公交车到书店，已知他先步行$x$ min，平均速度为65 m/min，再乘车$y$ min，公交车的平均速度为500 m/min，则小华家到书店的路程是
小华周末从家里去书店，需要先步行一段路程，再坐公交车到书店，已知他先步行$x$ min，平均速度为65 m/min，再乘车$y$ min，公交车的平均速度为500 m/min，则小华家到书店的路程是
65x+500y
m.答案
5. 解：(65x + 500y) 它的项分别是 65x，500y，次数是 1.
解析
【分析】
解题时首先回忆行程问题的基本公式：路程=速度×时间，分别计算出步行的路程和乘车的路程，两者相加就是总路程；再根据多项式的相关概念确定它的项和次数：组成多项式的每个单项式就是多项式的项，多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数。
【解析】
第一步：计算步行路程，步行速度为65m/min，时间为x min，根据路程=速度×时间，步行路程为$65 × x = 65x$（m）；
第二步：计算乘车路程，公交车速度为500m/min，时间为y min，乘车路程为$500 × y = 500y$（m）；
第三步：总路程为步行路程加乘车路程，即$(65x + 500y)$ m；
第四步：确定多项式的项和次数：该多项式由单项式65x和500y组成，所以项为65x、500y；两个单项式的次数都是1，最高次项的次数为1，因此该多项式的次数是1。
【答案】
(65x + 500y)，它的项分别是 65x，500y，次数是 1。
【知识点】
1. 列代数式 2. 多项式的项 3. 多项式的次数
【点评】
本题结合生活中的行程场景，既考察了行程问题基本公式的应用，也考察了多项式基础概念的掌握，属于基础类习题，熟练掌握相关公式和概念即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆行程问题的基本公式：路程=速度×时间，分别计算出步行的路程和乘车的路程，两者相加就是总路程；再根据多项式的相关概念确定它的项和次数：组成多项式的每个单项式就是多项式的项，多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数。
【解析】
第一步：计算步行路程，步行速度为65m/min，时间为x min，根据路程=速度×时间，步行路程为$65 × x = 65x$（m）；
第二步：计算乘车路程，公交车速度为500m/min，时间为y min，乘车路程为$500 × y = 500y$（m）；
第三步：总路程为步行路程加乘车路程，即$(65x + 500y)$ m；
第四步：确定多项式的项和次数：该多项式由单项式65x和500y组成，所以项为65x、500y；两个单项式的次数都是1，最高次项的次数为1，因此该多项式的次数是1。
【答案】
(65x + 500y)，它的项分别是 65x，500y，次数是 1。
【知识点】
1. 列代数式 2. 多项式的项 3. 多项式的次数
【点评】
本题结合生活中的行程场景，既考察了行程问题基本公式的应用，也考察了多项式基础概念的掌握，属于基础类习题，熟练掌握相关公式和概念即可快速解题。
【难度系数】
0.85
