9. (★★)一个两位数,十位上的数比个位上的数大 3,十位上的数与个位上的数的积等于这个两位数的 $\frac{2}{7}$,求这个两位数。

63

设个位上的数为$x$，则十位上的数为$x+3$。
这个两位数可表示为$10(x+3)+x=11x+30$。
根据题意，得$x(x+3)=\frac{2}{7}(11x+30)$。
两边同乘7，得$7x(x+3)=2(11x+30)$。
展开并整理：$7x^2+21x=22x+60$，即$7x^2 - x - 60=0$。
解方程$7x^2 - x - 60=0$，判别式$\Delta=(-1)^2-4×7×(-60)=1+1680=1681=41^2$。
$x=\frac{1\pm41}{14}$，解得$x_3=3$，$x=-\frac{20}{7}$（舍去）。
个位数字$x=3$，十位数字$x+3=6$，这个两位数是63。

10. (★★)直播购物逐渐走进了人们的生活。某电商对一款成本价为 40 元的小商品进行直播销售,如果按每件 60 元销售,每天可卖出 20 件。通过市场调查发现,每件小商品售价每降低 5 元,日销售量增加 10 件。
(1)若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款商品,则每件售价应定为多少元？
(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品,标价为每件 62.5 元。为提高市场竞争力,促进线下销售,小明决定对该商品实行打折销售,使其销售价格不超过 (1) 中的售价,则该商品至少需打几折销售？

(1)设每件售价应定为$x$元。
原日利润：$(60 - 40)×20 = 400$元。
售价降低$(60 - x)$元，日销售量增加$10×\frac{60 - x}{5} = 2(60 - x)$件，现日销售量为$20 + 2(60 - x)$件。
依题意：$(x - 40)[20 + 2(60 - x)] = 400$。
化简得：$(x - 40)(140 - 2x) = 400$，
展开：$-2x^2 + 220x - 5600 = 400$，
整理：$x^2 - 110x + 3000 = 0$，
解得：$x_1 = 50$，$x_2 = 60$。
因尽快销售完需增加销量，$x = 50$时销量更大，故售价定为$50$元。
(2)设需打$y$折，依题意：$62.5×\frac{y}{10} ≤ 50$，
解得：$y ≤ 8$。
(1)每件售价应定为$50$元；(2)该商品至少需打$8$折销售。

11. (★★)(2022·青海)如图 21.3 - 6,小明同学用一张长 11 cm、宽 7 cm 的矩形纸板制作一个底面积为 21 cm^2 的无盖长方体纸盒,他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形,将四周向上折叠即可(损耗不计)。设剪去的正方形边长为 $x$ cm,则可列出关于 $x$ 的方程为。

$(11 - 2x)(7 - 2x) = 21$

设剪去的正方形边长为 $ x $ cm，则折叠后长方体纸盒底面的长为 $ (11 - 2x) $ cm，宽为 $ (7 - 2x) $ cm。根据底面积为 $ 21 \, cm^2 $，可列方程：$(11 - 2x)(7 - 2x) = 21$