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①**一般形式**；②$a$；③$b$；④**常数**；⑤**完全平方**；⑥**降次**；⑦**降次**；⑧**一次**；⑨**求根公式**；⑩**一元二次**；⑪**系数**；⑫**公式法**；⑬**两**；⑭**判别**；⑮$\Delta$；⑯$\Delta = b^{2}-4ac$；⑰$\Delta\gt0$；⑱$\Delta = 0$；⑲$\Delta\lt0$；⑳**没有实数根**。

1. (★)下列方程一定是一元二次方程的是 【】
A.$3x + 1 = 4x - 3$
B.$ax^{2} + bx + c = 0$
C.$2x^{2} + y - 3 = 0$
D.$3x^{2} - 5 = 7$

D

A选项：方程$3x + 1 = 4x - 3$化简为$x = 4$，是一元一次方程，不满足一元二次方程的定义。
B选项：方程$ax^2 + bx + c = 0$，当$a \neq 0$时，才满足一元二次方程的定义，但题目没有明确$a$的取值，所以不一定是一元二次方程。
C选项：方程$2x^2 + y - 3 = 0$含有两个未知数$x$和$y$，是二元二次方程，不满足一元二次方程的定义。
D选项：方程$3x^2 - 5 = 7$化简为$3x^2 - 12 = 0$，满足一元二次方程的所有条件：只含有一个未知数$x$，且$x$的最高次数为2，二次项系数不为0。

2. (★)将$(x + 3)^{2} - 3x = 5x^{2}$化成一元二次方程的一般形式为,它的一次项系数为。

一般形式为$4x^{2} - 3x - 9 = 0$，一次项系数为$-3$（第二个空填写$-3$）。

首先，将原方程 $(x + 3)^{2} - 3x = 5x^{2}$ 展开，得到 $x^{2} + 6x + 9 - 3x = 5x^{2}$。
接着，将所有项移到等式的一侧，得到 $x^{2} + 6x + 9 - 3x - 5x^{2} = 0$。
进一步整理，合并同类项：$-4x^{2} + 3x + 9 = 0$。
为了符合一元二次方程的一般形式 $ax^{2} + bx + c = 0$，将方程两边同时乘以 -1，得到：$4x^{2} - 3x - 9 = 0$。
从这个方程中，可以明确地看出一次项系数是 $-3（或写为负3）$，但按照题目要求填写数字，则为$-3$对应的无符号数形式在一般式中已调整，但题目问的是“一次项系数”，应直接写出系数值，即$-3$（或理解为在$4x^{2} - 3x - 9 = 0$中，一次项系数是$-3$）。

3. (★)方程$x(x - 1) = x$的根是 【】
A.$x = 2$
B.$x = -2$
C.$x_{1} = -2$,$x_{2} = 0$
D.$x_{1} = 2$,$x_{2} = 0$

D

方程$x(x - 1) = x$，移项得$x(x - 1) - x = 0$，提取公因式$x$得$x[(x - 1) - 1] = 0$，即$x(x - 2) = 0$，则$x = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = 2$。

4. (★)已知关于$x的一元二次方程(a + 1)x^{2} - 2x + a^{2} + a = 0有一个根为x = 0$,则$a$的值为 【】
A.$0$
B.$0或-1$
C.$1$
D.$-1$

A

将$x=0$代入方程$(a + 1)x^{2} - 2x + a^{2} + a = 0$，得到$a^{2} + a = 0$，即$a(a + 1) = 0$，所以$a=0$或$a=-1$。
由于方程是一元二次方程，二次项系数$a + 1 \neq 0$，所以$a \neq -1$，因此$a=0$。