5. (★★)学校体育组准备在操场上规划出一块长方形区域开展跳绳比赛,比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路,图 21.3 - 2 是比赛区域的规划图,现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍(场地间空隙忽略不计),预留道路的宽度为 4 米,比赛区域的总面积为 144 平方米。请你根据以上信息,求比赛区域的长和宽分别是多少米。

比赛区域的长为16米，宽为9米。

设每块跳绳场地的宽为$ x $米，则长为$ 2x $米。由图可知，场地分左右两列（每列3块），中间夹一条宽4米的纵向道路。
总宽度：左列场地长 + 道路宽 + 右列场地长，即$ 2x + 4 + 2x = 4x + 4 $（米）
总长度：3块场地宽叠加，即$ 3x $（米）
方程：$ (4x + 4) \cdot 3x = 144 \implies 12x^2 + 12x - 144 = 0 \implies x^2 + x - 12 = 0 $
解得$ x = 3 $（米）。
总宽度：$ 4x + 4 = 16 $（米）
总长度：$ 3x = 9 $（米）
结论：
比赛区域的长为16米，宽为9米。

6. (★★)如图 21.3 - 3,邻边不等的矩形花圃 $ABCD$,它的一边 $AD$ 利用已有的围墙(围墙足够长),另外三边所围的栅栏的总长度是 6 m。若矩形的面积为 4 m^2,则 $AB$ 的长度是m。

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设 $AB = x$ 米，$BC = y$ 米。根据题意，栅栏的总长度为 6 米，即 $2x + y = 6$。矩形的面积为 4 平方米，即 $x \cdot y = 4$。
由 $2x + y = 6$，可以解出 $y = 6 - 2x$。
将 $y = 6 - 2x$ 代入 $x \cdot y = 4$，得到 $x(6 - 2x) = 4$。
化简方程：
$6x - 2x^2 = 4$
$2x^2 - 6x + 4 = 0$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
解这个二次方程：
$(x - 1)(x - 2) = 0$
所以 $x = 1$ 或 $x = 2$。
当 $x = 1$ 时，$y = 6 - 2 \cdot 1 = 4$；
当 $x = 2$ 时，$y = 6 - 2 \cdot 2 = 2$。
由于题目要求邻边不等，所以 $x = 1$，$y = 4$ 符合题意。

7. (★★)如图 21.3 - 4,用一条长 40 m 的绳子围成矩形 $ABCD$,设边 $AB$ 的长为 $x$ m。
(1)边 $BC$ 的长为 m,矩形 $ABCD$ 的面积为 m²；(均用含 $x$ 的代数式表示)
(2)矩形 $ABCD$ 的面积是否可以是 120 m²？请给出你的结论,并用所学的知识说明理由。

(1) 20 - x；-x² + 20x；(2) 不能。

(1) ∵ 矩形周长为 40 m，AB = x m，
∴ BC = (40 - 2x)/2 = 20 - x (m)，
面积 = AB·BC = x(20 - x) = -x² + 20x (m²)。
(2) 假设面积为 120 m²，则 -x² + 20x = 120，
整理得 x² - 20x + 120 = 0，
判别式 Δ = (-20)² - 4×1×120 = 400 - 480 = -80 ＜ 0，
方程无实数根，
∴ 矩形面积不能是 120 m²。

8. (★★★)如图 21.3 - 5,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle B = 90^{\circ}$,$AB = 5$ cm,$BC = 7$ cm。点 $P$ 从点 $A$ 开始沿 $AB$ 边向点 $B$ 以 1 cm/s 的速度移动,点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿 $BC$ 边向点 $C$ 以 2 cm/s 的速度移动。当 $P$,$Q$ 两点中有一点到达终点时,则同时停止运动。
(1)如果 $P$,$Q$ 分别从 $A$,$B$ 同时出发,那么出发后几秒时,$\triangle PBQ$ 的面积等于 4 cm^2？
(2)如果 $P$,$Q$ 分别从 $A$,$B$ 同时出发,那么出发后几秒时,$PQ$ 的长度等于 5 cm？
(3)在 (1) 中,$\triangle PBQ$ 的面积能否等于 7 cm^2？请说明理由。

(1) 设出发后 $t$ 秒时，$\triangle PBQ$ 的面积等于 $4 cm^2$。
此时，$AP = t cm$，$BQ = 2t cm$，$BP = (5 - t) cm$。
由直角三角形的面积公式，有：
$\frac{1}{2} × (5 - t) × 2t = 4$，
化简得：
$t^2 - 5t + 4 = 0$，
解得：
$t_1 = 1, \quad t_2 = 4$（由于 $t_2 = 4$ 时，$BQ = 8 ＞ 7$，故舍去），
所以出发后 $1$ 秒时，$\triangle PBQ$ 的面积等于 $4 cm^2$。
(2) 设出发后 $t$ 秒时，$PQ$ 的长度等于 $5 cm$。
此时，$BP = (5 - t) cm$，$BQ = 2t cm$。
由勾股定理，有：
$PQ^2 = BP^2 + BQ^2$，
即：
$25 = (5 - t)^2 + (2t)^2$，
化简得：
$5t^2 - 10t = 0$，
解得：
$t_1 = 0$（舍去，因为此时$PQ$不是运动的线段），$t_2 = 2$，
所以出发后 $2$ 秒时，$PQ$ 的长度等于 $5 cm$。
(3) 在 (1) 的情境中，$\triangle PBQ$ 的面积不能等于 $7 cm^2$。
理由如下：
设出发后 $t$ 秒时，$\triangle PBQ$ 的面积为 $7 cm^2$。
此时，由直角三角形的面积公式，有：
$\frac{1}{2} × (5 - t) × 2t = 7$，
化简得：
$t^2 - 5t + 7 = 0$，
计算判别式 $\Delta = (-5)^2 - 4 × 1 × 7 = 25 - 28 = -3 ＜ 0$，
因为判别式小于0，所以方程无实数解。
因此，在 (1) 的情境中，$\triangle PBQ$ 的面积不能等于 $7 cm^2$。