1. 如图,点B,C,E在同一条直线上,$∠B=∠E=70^{\circ },∠ACF=70^{\circ }$,且$AB=CE$.图中与AC长度相等的线段是 ()


A.BC
B.EF
C.CF
D.AF

1.C

证明：
∵点B,C,E在同一条直线上，
∴∠ACB+∠ACF+∠FCE=180°．
∵∠ACF=70°，
∴∠ACB+∠FCE=110°．
∵∠B=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=110°-∠ACB=∠FCE．
在△ABC和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠B=∠E,\\ AB=CE,\\ ∠BAC=∠ECF,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△CEF(ASA)．
∴AC=CF．
C

2. 如图,B,A,D三点共线,$∠CAE=∠B=∠D＜90^{\circ },AC=AE$. 求证:
(1)$△ABC\cong △EDA;$
(2)$BD=BC+DE.$

2.(1)
∵∠EAD = 180°−∠CAE−∠CAB,∠C = 180°−∠B−∠CAB,∠CAE = ∠B,
∴∠EAD = ∠C.在△ABC和△EDA中$,\begin{cases} ∠B = ∠D, \\ ∠C = ∠EAD, \\ AC = EA, \end{cases} $
∴△ABC≌△EDA(AAS)
(2)由(1)，得△ABC≌△EDA,
∴BA = DE,BC = DA.
∵BD = DA + BA,
∴BD = BC + DE

3. (2023·重庆A卷)如图,在$△ABC$中,$∠BAC=90^{\circ },AB=AC$,D为BC上一点,连接AD.过点B作$BE⊥AD$于点E,过点C作$CF⊥AD$,交AD的延长线于点F.若$BE=4,CF=1$,则EF的长为.

3.3

证明：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠CFA=90°．
∵∠BAE+∠EAC=90°，∠EAC+∠ACF=90°，
∴∠BAE=∠ACF．
在△ABE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠AEB=∠CFA,\\ ∠BAE=∠ACF,\\ AB=CA,\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CAF（AAS）．
∴AE=CF=1，AF=BE=4．
∴EF=AF-AE=4-1=3．
答案：3

4. (2024·重庆A卷改编)如图,在正方形ABCD的边CD上有一点E,连接AE,把AE绕点E逆时针旋转$90^{\circ }$,得到FE,连接CF并延长与AB的延长线交于点G,则$∠G$的度数为.

4.45° 解析：如图，过点F作FH⊥DC，交DC的延长线于点H，则可证△ADE≌△EHF，
∴AD = EH,DE = HF，
∴易得EH = DC，
∴DE = CH = HF，
∴∠HCF = ∠HFC = 45°.
∵在正方形ABCD中，DC//AB，即DH//AG，
∴∠G = ∠HCF = 45°.

5. 如图,$AC=AB=BD,∠ABD=90^{\circ },BC=8$,则$△BCD$的面积为.

5.16 解析：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F.先由“HL”证Rt△AEC≌Rt△AEB，得$CE = BE = \frac{1}{2}BC = 4，$再由“AAS”证△AEB≌△BFD，得BE = DF = 4，因此$S_{△BCD} = \frac{1}{2}BC·DF = \frac{1}{2}×8×4 = 16.$

解：过点$A$作$AE \perp BC$于点$E$，过点$D$作$DF \perp CB$，交$CB$的延长线于点$F$。
在$Rt\triangle AEC$和$Rt\triangle AEB$中，$\left\{\begin{array}{l} AC=AB \\ AE=AE \end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle AEC \cong Rt\triangle AEB(HL)$，
$\therefore CE=BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8 = 4$。
$\because \angle ABD=90^{\circ}$，$\angle AEB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle EAB+\angle ABE=90^{\circ}$，$\angle ABE+\angle DBF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle EAB=\angle DBF$。
在$\triangle AEB$和$\triangle BFD$中，$\left\{\begin{array}{l} \angle EAB=\angle DBF \\ \angle AEB=\angle BFD=90^{\circ} \\ AB=BD \end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AEB \cong \triangle BFD(AAS)$，
$\therefore BE=DF=4$。
$\therefore S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BC· DF=\frac{1}{2}×8×4 = 16$。
16

6. (2023·陕西)如图,在$△ABC$中,$∠B=90^{\circ }$,作$CD⊥AC$,且使$CD=AC$,作$DE⊥BC$,交BC的延长线于点E.求证:$AB=CE.$

6.
∵DC⊥AC，
∴∠ACD = 90°，
∴∠ACB + ∠DCE = 180°−∠ACD = 90°.
∵∠B = 90°，
∴∠ACB + ∠A = 90°，
∴∠A = ∠DCE.
∵DE⊥BC，
∴∠E = 90°，
∴∠B = ∠E.在△ABC和△CED中，$\begin{cases} ∠B = ∠E, \\ ∠A = ∠DCE, \\ AC = CD, \end{cases} $
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴AB = CE