7. 在如图所示的$Rt\triangle ABC$纸片中，$\angle ACB=90^{\circ }$，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，此时点B折叠到点E的位置，连接AE。若$AE// DC$，$\angle B=\alpha$，则$\angle EAC$的度数为(
A.$\alpha$
B.$90^{\circ }-\alpha$
C.$\frac {1}{2}\alpha$
D.$90^{\circ }-2\alpha$
B
)A.$\alpha$
B.$90^{\circ }-\alpha$
C.$\frac {1}{2}\alpha$
D.$90^{\circ }-2\alpha$
答案
7.B
解析
证明：
∵在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，D是斜边AB中点，
∴$CD=AD=BD$（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴$\angle BCD=\angle B=\alpha$，$\angle ACD=\angle CAD=90°-\alpha$（等边对等角）。
由折叠性质得：$CE=CB$，$\angle ECD=\angle BCD=\alpha$，
∴$\angle ACE=\angle ACD-\angle ECD=(90°-\alpha)-\alpha=90°-2\alpha$。
∵$AE// DC$，
∴$\angle EAC=\angle ACD=90°-\alpha$（两直线平行，内错角相等）。
答案：B
∵在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，D是斜边AB中点，
∴$CD=AD=BD$（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴$\angle BCD=\angle B=\alpha$，$\angle ACD=\angle CAD=90°-\alpha$（等边对等角）。
由折叠性质得：$CE=CB$，$\angle ECD=\angle BCD=\alpha$，
∴$\angle ACE=\angle ACD-\angle ECD=(90°-\alpha)-\alpha=90°-2\alpha$。
∵$AE// DC$，
∴$\angle EAC=\angle ACD=90°-\alpha$（两直线平行，内错角相等）。
答案：B
8.(2023·赤峰改编)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ }$，$AB=8cm$，D是AB的中点。现将$\triangle BCD$沿BA方向平移1cm，得到$\triangle EFG$，FG交AC于点H，则GH的长为
]
3
cm。]
答案
8.3
解析
解：在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，D是AB的中点，$AB=8\, cm$，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AB=4\, cm$，且$CD=AD=BD$。
将$\triangle BCD$沿BA方向平移1cm得到$\triangle EFG$，
$\therefore FG=CD=4\, cm$，平移距离为1cm，即$BE=1\, cm$。
$\because D$是$AB$中点，$AB=8\, cm$，$\therefore AD=4\, cm$。
平移后$G$点对应原$D$点，沿$BA$方向平移1cm，
$\therefore AG=AD - 1=4 - 1=3\, cm$。
又$\because CD// FG$，且$CD=AD$，$\therefore \angle ACD=\angle A$。
$\because CD// FG$，$\therefore \angle AHF=\angle ACD=\angle A$，
$\therefore FH=AG=3\, cm$。
$\therefore GH=FG - FH=4 - 3=1\, cm$。
（注：上述解答过程中存在逻辑错误，正确解法应为：由平移性质知$GD=1\, cm$，$CD// FG$，则$\triangle AHG\sim\triangle ACD$，$\frac{AG}{AD}=\frac{GH}{CD}$。$AG=AD - GD=4 - 1=3\, cm$，$\frac{3}{4}=\frac{GH}{4}$，解得$GH=3\, cm$。）
证明：$\because \triangle BCD$平移得$\triangle EFG$，$\therefore FG// CD$，$FG=CD=4\, cm$，$GD=1\, cm$。
$\because D$为$AB$中点，$\angle ACB=90^{\circ}$，$\therefore AD=CD=4\, cm$，$\angle A=\angle ACD$。
$\because FG// CD$，$\therefore \angle AGH=\angle ADC$，$\angle AHG=\angle ACD=\angle A$，
$\therefore \triangle AGH\sim\triangle ADC$（AA）。
$\therefore \frac{AG}{AD}=\frac{GH}{CD}$，$AG=AD - GD=4 - 1=3\, cm$，
$\frac{3}{4}=\frac{GH}{4}$，解得$GH=3\, cm$。
3
$\therefore CD=\frac{1}{2}AB=4\, cm$，且$CD=AD=BD$。
将$\triangle BCD$沿BA方向平移1cm得到$\triangle EFG$，
$\therefore FG=CD=4\, cm$，平移距离为1cm，即$BE=1\, cm$。
$\because D$是$AB$中点，$AB=8\, cm$，$\therefore AD=4\, cm$。
平移后$G$点对应原$D$点，沿$BA$方向平移1cm，
$\therefore AG=AD - 1=4 - 1=3\, cm$。
又$\because CD// FG$，且$CD=AD$，$\therefore \angle ACD=\angle A$。
$\because CD// FG$，$\therefore \angle AHF=\angle ACD=\angle A$，
$\therefore FH=AG=3\, cm$。
$\therefore GH=FG - FH=4 - 3=1\, cm$。
（注：上述解答过程中存在逻辑错误，正确解法应为：由平移性质知$GD=1\, cm$，$CD// FG$，则$\triangle AHG\sim\triangle ACD$，$\frac{AG}{AD}=\frac{GH}{CD}$。$AG=AD - GD=4 - 1=3\, cm$，$\frac{3}{4}=\frac{GH}{4}$，解得$GH=3\, cm$。）
证明：$\because \triangle BCD$平移得$\triangle EFG$，$\therefore FG// CD$，$FG=CD=4\, cm$，$GD=1\, cm$。
$\because D$为$AB$中点，$\angle ACB=90^{\circ}$，$\therefore AD=CD=4\, cm$，$\angle A=\angle ACD$。
$\because FG// CD$，$\therefore \angle AGH=\angle ADC$，$\angle AHG=\angle ACD=\angle A$，
$\therefore \triangle AGH\sim\triangle ADC$（AA）。
$\therefore \frac{AG}{AD}=\frac{GH}{CD}$，$AG=AD - GD=4 - 1=3\, cm$，
$\frac{3}{4}=\frac{GH}{4}$，解得$GH=3\, cm$。
3
9. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B=50^{\circ }$，$CD\perp AB$于点D，$\angle BCD$和$\angle BDC$的平分线相交于点E，F为边AC的中点，$CD=CF$，则$\angle ACD+\angle CED$的度数为
175°
。答案
9.175° 解析:连接DF.
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠BDC=90°.
∵F为边AC的中点，
∴AF=CF,DF是Rt△ADC斜边上的中线，
∴DF=AF=CF.
∵CD=CF,
∴DF=CD=CF,
∴△CDF是等边三角形，
∴∠ACD=60°.
∵在△CDB中，∠B=50°,
∴∠BCD+∠BDC=180°−∠B=180°−50°=130°.
∵∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E,
∴∠ECD=$\frac{1}{2}$∠BCD,∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BDC,
∴ ∠ECD+∠EDC=$\frac{1}{2}$(∠BCD+∠BDC)=65°,
∴在△CDE中,∠CED=180°−(∠ECD+∠EDC)=180°−65°=115°,
∴∠ACD+∠CED=60°+115°=175°.
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠BDC=90°.
∵F为边AC的中点，
∴AF=CF,DF是Rt△ADC斜边上的中线，
∴DF=AF=CF.
∵CD=CF,
∴DF=CD=CF,
∴△CDF是等边三角形，
∴∠ACD=60°.
∵在△CDB中，∠B=50°,
∴∠BCD+∠BDC=180°−∠B=180°−50°=130°.
∵∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E,
∴∠ECD=$\frac{1}{2}$∠BCD,∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BDC,
∴ ∠ECD+∠EDC=$\frac{1}{2}$(∠BCD+∠BDC)=65°,
∴在△CDE中,∠CED=180°−(∠ECD+∠EDC)=180°−65°=115°,
∴∠ACD+∠CED=60°+115°=175°.
10. 如图，在$\triangle ABC$中，CD是边AB上的高，BE是边AC上的中线，且$BD=CE$。求证：
（1）点D在BE的垂直平分线上；
（2）$\angle BEC=3\angle ABE$。
（1）点D在BE的垂直平分线上；
（2）$\angle BEC=3\angle ABE$。
答案
10.(1)如图，连接DE.
∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°.
∵BE是边AC上的中线，
∴AE=CE,
∴DE是Rt△ADC斜边上的中线，
∴DE=CE=AE.
∵BD=CE,
∴BD=DE,
∴点D在BE的垂直平分线上 (2)
∵DE=AE,
∴∠A=∠ADE.
∵BD=DE,
∴∠DBE=∠DEB.
∵∠ADE是△DBE的外角，
∴∠ADE=∠DBE+∠DEB=2∠DBE,
∴∠A=2∠ABE.
∵∠BEC是△ABE的外角，
∴∠BEC=∠A+∠ABE,
∴∠BEC=3∠ABE
11.（新考法·探究题）如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=90^{\circ }$。
（1）尺规作图：①作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；②连接BO并延长，在BO的延长线上截取DO，使得$DO=BO$；③连接DA，DC（保留作图痕迹，标明字母）。
（2）试判断AD，CD的位置关系，并说明理由。
（1）尺规作图：①作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；②连接BO并延长，在BO的延长线上截取DO，使得$DO=BO$；③连接DA，DC（保留作图痕迹，标明字母）。
（2）试判断AD，CD的位置关系，并说明理由。
答案
11.(1)如图所示 (2)AD⊥CD 理由:
∵直线l垂直平分线段AC,
∴AO=CO.又
∵在△ABC中,∠ABC=90°,
∴BO=$\frac{1}{2}$AC,即BO=AO=CO.
∵DO=BO,
∴DO=AO=CO,
∴∠OAD=∠ODA,∠OCD=∠ODC.
∵△ADC的内角和为180°,
∴∠ODA+∠ODC=$\frac{1}{2}$×180°=90°,即∠ADC=90°,
∴AD⊥CD.
