7. 如图,在四边形ABCD中,$∠B=∠C=90^{\circ },AB＞CD,AD=AB+CD.$
(1)利用尺规作$∠ADC$的平分线DE,交BC于点E,连接AE(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,求证:$AE⊥DE.$

7.(1)如图所示 (2)如图，在DA上截取GD = CD，连接GE.
∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠GDE = ∠CDE.在△GDE和△CDE中，$\begin{cases} GD = CD, \\ ∠GDE = ∠CDE, \\ DE = DE, \end{cases} $
∴△GDE≌△CDE(SAS)，
∴∠DGE = ∠C = 90°，$∠DEG = ∠DEC = \frac{1}{2}∠CEG，$
∴∠AGE = 180°−∠DGE = 90°，
∴∠AGE = ∠B = 90°，
∴△AGE和△ABE均是直角三角形.
∵AD = AG + GD = AB + CD,GD = CD，
∴AG = AB.在Rt△AEG和Rt△AEB中，$\begin{cases} AE = AE, \\ AG = AB, \end{cases} $
∴Rt△AEG≌Rt△AEB(HL)，
∴$∠AEG = ∠AEB = \frac{1}{2}∠BEG，$
∴$∠AED = ∠DEG + ∠AEG = \frac{1}{2}(∠CEG + ∠BEG) = \frac{1}{2}×180° = 90°，$
∴AE⊥DE

8. (新考法·探究题)已知CD是经过$∠BCA$的顶点C的一条直线,$CA=CB$,E,F分别是直线CD上的两点,且$∠BEC=∠CFA=∠α$.
(1)如图①,若直线CD经过$∠BCA$的内部,且点E,F在射线CD上,$0^{\circ }＜∠BCA＜180^{\circ },∠α+∠BCA=180^{\circ }$,请写出线段EF,BE,AF之间的数量关系,并证明你的结论;
(2)如图②,若直线CD不经过$∠BCA$的内部,$∠α=∠BCA$,请写出线段EF,BE,AF之间的数量关系,并证明你的结论.

8.(1)EF = BE - AF
∵∠α + ∠BCA = 180°，
∴∠α + ∠BCE + ∠ACF = 180°.
∵△ACF的内角和为180°，
∴∠α + ∠ACF + ∠CAF = 180°，
∴∠BCE = ∠CAF.在△BCE和△CAF中，$\begin{cases} ∠BEC = ∠CFA, \\ ∠BCE = ∠CAF, \\ CB = AC, \end{cases} $
∴△BCE≌△CAF(AAS)，
∴BE = CF,CE = AF.
∵CF = CE + EF，
∴EF = CF - CE = BE - AF (2)EF = BE + AF 根据题意，得∠BEC = ∠CFA = ∠α = ∠BCA.又
∵∠EBC + ∠BCE + ∠BEC = 180°，∠BCE + ∠FCA + ∠BCA = 180°，
∴∠EBC = ∠FCA.在△BEC和△CFA中，$\begin{cases} ∠BEC = ∠CFA, \\ ∠EBC = ∠FCA, \\ CB = AC, \end{cases} $
∴△BEC≌△CFA(AAS)，
∴CE = AF,BE = CF，
∴EF = CF + CE = BE + AF