1. 如图，$AC$、$BE$是$\odot O$的直径，弦$AD$与$BE$交于点$F$，连接$AB$、$AE$、$BD$、$CF$、$DE$。下列三角形中，外心不是点$O$的为()

A.$\triangle ABE$
B.$\triangle ACF$
C.$\triangle ABD$
D.$\triangle ADE$

1. B

证明：
选项A：$\triangle ABE$，$BE$是直径，$\angle BAE=90°$，外心为$BE$中点$O$。
选项B：$\triangle ACF$，$AC$是直径，若外心为$O$，则$O$为$AF$中点。但$F$是$AD$与$BE$交点，$AF$不一定过$O$，$OA\neq OC=OF$，外心不是$O$。
选项C：$\triangle ABD$，$AC$是直径，$\angle ABC=90°$，$\angle ABD=90°$，外心为$AD$中点。$OA=OD$，$O$为$AD$中点，外心是$O$。
选项D：$\triangle ADE$，$BE$是直径，$\angle BAE=90°$，$\angle DAE=90°$，外心为$DE$中点。$OE=OD$，$O$为$DE$中点，外心是$O$。
答案：B

2. 如图，$\triangle ABC$的外心的坐标是()

A.$(-1,-2)$
B.$(-2,-2)$
C.$(-2,-1)$
D.$(-1,-1)$

2. C

解：由图可知，$A(0,2)$，$B(2,1)$，$C(1,-2)$。
设$AB$的垂直平分线方程为$y=kx+b$。
$AB$中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{2+1}{2})=(1,\frac{3}{2})$，$k_{AB}=\frac{1-2}{2-0}=-\frac{1}{2}$，则$AB$垂直平分线的斜率$k=2$。
代入中点得：$\frac{3}{2}=2×1+b$，解得$b=-\frac{1}{2}$，故$AB$垂直平分线方程为$y=2x-\frac{1}{2}$。
设$AC$的垂直平分线方程为$y=mx+n$。
$AC$中点坐标为$(\frac{0+1}{2},\frac{2+(-2)}{2})=(\frac{1}{2},0)$，$k_{AC}=\frac{-2-2}{1-0}=-4$，则$AC$垂直平分线的斜率$m=\frac{1}{4}$。
代入中点得：$0=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+n$，解得$n=-\frac{1}{8}$，故$AC$垂直平分线方程为$y=\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}$。
联立$\begin{cases}y=2x-\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-2\\y=-1\end{cases}$。
外心坐标为$(-2,-1)$。
C

3. 已知直角三角形的两边长分别为$16$、$12$，则此三角形的外接圆的半径为。

3. 10 或 8

当16和12为直角边时，斜边长为$\sqrt{16^{2}+12^{2}}=20$，外接圆半径为$\frac{20}{2}=10$；当16为斜边，12为直角边时，外接圆半径为$\frac{16}{2}=8$。故此三角形的外接圆的半径为10或8。

4. 如图，点$A$、$B$、$C$均在$6×6$的正方形网格的格点上，过$A$、$B$、$C$三点的圆除经过$A$、$B$、$C$三点外，还能经过的格点的个数为。

4. 5

5. 如图，$AD$既是$\triangle ABC$的中线，又是$\angle BAC$的平分线。
（1）判断$\triangle ABC$的形状，并证明你的结论；
（2）判断$AD$是否过$\triangle ABC$的外接圆的圆心，并证明你的结论。

5. (1) $\triangle ABC$ 是等腰三角形 如图，过点 $D$ 作 $DE \perp AB$ 于点 $E$，$DF \perp AC$ 于点 $F$。$\because AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线，$\therefore DE = DF$。又 $\because AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线，$\therefore BD = CD$。在 $Rt\triangle BDE$ 和 $Rt\triangle CDF$ 中，$\left\{\begin{array}{l} BD = CD, \\ DE = DF, \end{array}\right.$ $\therefore Rt\triangle BDE \cong Rt\triangle CDF$，$\therefore \angle B = \angle C$，$\therefore AB = AC$，即 $\triangle ABC$ 是等腰三角形 (2) $AD$ 过 $\triangle ABC$ 的外接圆的圆心 $\because AB = AC$，$AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线，$\therefore AD \perp BC$。又 $\because BD = CD$，$\therefore AD$ 是 $BC$ 的垂直平分线，$\therefore AD$ 过 $\triangle ABC$ 的外接圆的圆心

6. 已知点$A$、$B$，且$AB\lt4$，则经过$A$、$B$两点且半径为$2$的圆有()

A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.无数个

6. C

要确定经过A、B两点且半径为2的圆的个数，需考虑A、B两点间距离与圆心到A、B距离的关系。
设圆心为O，则OA=OB=2（半径），即O到A、B两点的距离均为2。因此，点O在以A为圆心、2为半径的圆与以B为圆心、2为半径的圆的交点上。
两圆的圆心距为AB，半径均为2。
当AB ＜ 4时，两圆相交，有2个交点，即存在2个满足条件的圆心O。
故经过A、B两点且半径为2的圆有2个。
C

7. (2023·江西)如图，点$A$、$B$、$C$、$D$均在直线$l$上，点$P$在直线$l$外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为()


A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

7. D

要确定经过其中任意三个点最多可画出圆的个数，需满足三个点不共线（共线三点不能确定一个圆）。已知点$A$、$B$、$C$、$D$在直线$l$上（共线），点$P$在直线$l$外（与$A$、$B$、$C$、$D$中任意两点不共线）。
从$A$、$B$、$C$、$D$中任取2个点，与点$P$组合，可构成不共线的三点组，具体组合如下：
1. $P$、$A$、$B$
2. $P$、$A$、$C$
3. $P$、$A$、$D$
4. $P$、$B$、$C$
5. $P$、$B$、$D$
6. $P$、$C$、$D$
共6组不共线三点，每组均可确定一个圆。
答案：D