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8. 如图,AB是$\odot O$的直径,弦$CD⊥AB$,垂足为E,连接AC.若$∠CAB=22.5^{\circ },CD=8$ cm,则$\odot O$的半径为
$4\sqrt{2}$
cm.答案
8. $4\sqrt{2}$
解析
解：连接OC。
∵AB是$\odot O$的直径，弦$CD\perp AB$，$CD=8\ cm$，
∴$CE=\frac{1}{2}CD=4\ cm$，$\angle OEC=90°$。
∵$OA=OC$，$\angle CAB=22.5°$，
∴$\angle OCA=\angle CAB=22.5°$，
∴$\angle COE=\angle CAB+\angle OCA=45°$。
在$Rt\triangle OCE$中，$\sin\angle COE=\frac{CE}{OC}$，
即$\sin45°=\frac{4}{OC}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{4}{OC}$，
解得$OC=4\sqrt{2}\ cm$。
故$\odot O$的半径为$4\sqrt{2}\ cm$。
∵AB是$\odot O$的直径，弦$CD\perp AB$，$CD=8\ cm$，
∴$CE=\frac{1}{2}CD=4\ cm$，$\angle OEC=90°$。
∵$OA=OC$，$\angle CAB=22.5°$，
∴$\angle OCA=\angle CAB=22.5°$，
∴$\angle COE=\angle CAB+\angle OCA=45°$。
在$Rt\triangle OCE$中，$\sin\angle COE=\frac{CE}{OC}$，
即$\sin45°=\frac{4}{OC}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{4}{OC}$，
解得$OC=4\sqrt{2}\ cm$。
故$\odot O$的半径为$4\sqrt{2}\ cm$。
9. 如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown }{AB}=2\overset{\frown }{AC},AD⊥OC$于点D.若$AB=8$,则AD的长为
4
.答案
9. 4
解析
解：连接OA，OB。
设$\angle AOC = \alpha$，则$\angle AOB = 2\alpha$。
设$\odot O$半径为$r$，在$\triangle AOB$中，由余弦定理得：$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2OA · OB \cos \angle AOB$，即$8^2 = r^2 + r^2 - 2r^2 \cos 2\alpha$，化简得$64 = 2r^2(1 - \cos 2\alpha) = 4r^2 \sin^2 \alpha$，故$r \sin \alpha = 4$。
在$Rt\triangle AOD$中，$AD = OA \sin \alpha = r \sin \alpha = 4$。
答案：4
设$\angle AOC = \alpha$，则$\angle AOB = 2\alpha$。
设$\odot O$半径为$r$，在$\triangle AOB$中，由余弦定理得：$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2OA · OB \cos \angle AOB$，即$8^2 = r^2 + r^2 - 2r^2 \cos 2\alpha$，化简得$64 = 2r^2(1 - \cos 2\alpha) = 4r^2 \sin^2 \alpha$，故$r \sin \alpha = 4$。
在$Rt\triangle AOD$中，$AD = OA \sin \alpha = r \sin \alpha = 4$。
答案：4
10. 如图,AB是$\odot O$的直径,AC是$\odot O$的弦,$OD⊥AC$于点D,DO的延长线交$\odot O$于点E.若$AC=4\sqrt {2},DE=4$,则BC的长为
2
.答案
10. 2
解析
解：设$\odot O$的半径为$r$，则$OE = OA = r$。
因为$OD \perp AC$，$AC = 4\sqrt{2}$，所以$AD=\frac{AC}{2}=2\sqrt{2}$。
设$OD = x$，则$DE = OD + OE = x + r = 4$，即$x = 4 - r$。
在$Rt\triangle AOD$中，$AD^2 + OD^2 = OA^2$，即$(2\sqrt{2})^2 + x^2 = r^2$，$8 + x^2 = r^2$。
将$x = 4 - r$代入得$8 + (4 - r)^2 = r^2$，$8 + 16 - 8r + r^2 = r^2$，$24 - 8r = 0$，解得$r = 3$。
所以$AB = 2r = 6$。
因为$AB$是直径，所以$\angle ACB = 90°$。
在$Rt\triangle ABC$中，$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{6^2 - (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 - 32} = \sqrt{4} = 2$。
2
因为$OD \perp AC$，$AC = 4\sqrt{2}$，所以$AD=\frac{AC}{2}=2\sqrt{2}$。
设$OD = x$，则$DE = OD + OE = x + r = 4$，即$x = 4 - r$。
在$Rt\triangle AOD$中，$AD^2 + OD^2 = OA^2$，即$(2\sqrt{2})^2 + x^2 = r^2$，$8 + x^2 = r^2$。
将$x = 4 - r$代入得$8 + (4 - r)^2 = r^2$，$8 + 16 - 8r + r^2 = r^2$，$24 - 8r = 0$，解得$r = 3$。
所以$AB = 2r = 6$。
因为$AB$是直径，所以$\angle ACB = 90°$。
在$Rt\triangle ABC$中，$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{6^2 - (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 - 32} = \sqrt{4} = 2$。
2
11. 已知$\odot O$的直径为20,弦AB的长为12,P是弦AB上一动点,则满足线段OP的长为整数的点P有
5
处不同的位置.答案
11. 5
解析
过点$O$作$OC\perp AB$于点$C$，连接$OA$。
$\odot O$直径为$20$，则半径$OA = 10$。
$AB = 12$，$OC\perp AB$，所以$AC=\frac{1}{2}AB = 6$。
在$Rt\triangle OAC$中，$OC=\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8$。
$P$在$AB$上运动，$OP$最小值为$OC = 8$，最大值为$OA = 10$（或$OB = 10$）。
$OP$长为整数时，$OP = 8$，$9$，$10$。
$OP = 8$时，点$P$与点$C$重合，1处；
$OP = 9$时，根据圆的对称性，$AB$上有2处；
$OP = 10$时，点$P$与点$A$或点$B$重合，2处。
共$1 + 2 + 2=5$处。
5
$\odot O$直径为$20$，则半径$OA = 10$。
$AB = 12$，$OC\perp AB$，所以$AC=\frac{1}{2}AB = 6$。
在$Rt\triangle OAC$中，$OC=\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8$。
$P$在$AB$上运动，$OP$最小值为$OC = 8$，最大值为$OA = 10$（或$OB = 10$）。
$OP$长为整数时，$OP = 8$，$9$，$10$。
$OP = 8$时，点$P$与点$C$重合，1处；
$OP = 9$时，根据圆的对称性，$AB$上有2处；
$OP = 10$时，点$P$与点$A$或点$B$重合，2处。
共$1 + 2 + 2=5$处。
5
12. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠C=90^{\circ }$,以点C为圆心、AC为半径的$\odot C$与AB相交于点D.若$AC=6,BC=8$,则AD的长为
$\frac{36}{5}$
.答案
12. $\frac{36}{5}$ 解析：如图，连接 $CD$，过点 $C$ 作 $CH \perp AB$ 于点 $H$，则 $AH = \frac{1}{2}AD$。在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中，由勾股定理，得 $AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$。由 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC · BC = \frac{1}{2}AB · CH$，即 $\frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × 10 · CH$，得 $CH = \frac{24}{5}$。在 $\mathrm{Rt}\triangle AHC$ 中，由勾股定理，得 $AH = \sqrt{AC^{2} - CH^{2}} = \sqrt{6^{2} - (\frac{24}{5})^{2}} = \frac{18}{5}$。$\therefore AD = 2AH = \frac{36}{5}$。
13. (新情境·现实生活)(2023·广西改编)如图,某地有一座圆弧形拱桥,桥拱所在圆的圆心为点O,桥下水面的宽度AB为7.2 m,过点O作$OC⊥AB$于点D,交圆弧于点C,$CD=2.4$ m.现有一艘宽3 m、船舱顶部高出水面AB 2 m的货船要经过这座拱桥,此货船能否顺利通过这座拱桥?
答案
13. 如图，连接 $ON$、$OB$。$\because OC \perp AB$，$\therefore D$ 为 $AB$ 的中点。$\because AB = 7.2\mathrm{m}$，$\therefore BD = \frac{1}{2}AB = 3.6\mathrm{m}$。设 $OB = OC = ON = r\mathrm{m}$，则 $OD = (r - 2.4)\mathrm{m}$。在 $\mathrm{Rt}\triangle BOD$ 中，根据勾股定理，得 $OB^{2} = OD^{2} + BD^{2}$，即 $r^{2} = (r - 2.4)^{2} + 3.6^{2}$，解得 $r = 3.9$。$\because CD = 2.4\mathrm{m}$，船舱顶部高出水面 $AB$ $2\mathrm{m}$，$\therefore CE = 2.4 - 2 = 0.4(\mathrm{m})$，$\therefore OE = 3.9 - 0.4 = 3.5(\mathrm{m})$。易知 $OC \perp MN$，$\therefore MN = 2EN$。在 $\mathrm{Rt}\triangle OEN$ 中，$EN = \sqrt{ON^{2} - OE^{2}} = \sqrt{3.9^{2} - 3.5^{2}} = \sqrt{2.96}(\mathrm{m})$。$\therefore MN = 2EN = 2 × \sqrt{2.96} \approx 3.44(\mathrm{m})$。$\because 3.44 ＞ 3$，$\therefore$ 此货船能顺利通过这座拱桥
14. (2024·包头)如图,AB是$\odot O$的直径,BC、BD是$\odot O$的两条弦,点C与点D在AB的两侧,E是OB上一点$(OE＞BE)$,连接OC、CE.若$∠BOC=2∠BCE$,且$BD=2OE$.求证:$BD// OC$.
答案
14. 如图，过点 $O$ 分别作 $OH \perp BC$、$OK \perp BD$，垂足依次为 $H$、$K$。$\because OK \perp BD$，$OK$ 经过圆心，$\therefore \angle OKB = 90^{\circ}$，$BD = 2BK$。$\because BD = 2OE$，$\therefore OE = BK$。$\because OB = OC$，$OH \perp BC$，$\therefore \angle BOC = 2\angle BOH$，$\angle OHB = 90^{\circ}$，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}\triangle OHB$ 中，$\angle BOH + \angle OBH = 90^{\circ}$。$\because \angle BOC = 2\angle BCE$，$\therefore \angle BOH = \angle BCE$，$\therefore \angle BCE + \angle OBH = 90^{\circ}$，$\therefore \angle OEC = \angle BCE + \angle OBH = 90^{\circ}$。在 $\mathrm{Rt}\triangle OEC$ 和 $\mathrm{Rt}\triangle BKO$ 中，$\begin{cases} OC = BO, \\ OE = BK, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}\triangle OEC \cong \mathrm{Rt}\triangle BKO$，$\therefore \angle COE = \angle OBK$，$\therefore BD // OC$
