1. (2023·潍坊改编)下列说法正确的是 ()

A.弦的垂线平分弦所对的弧
B.平分弦的直径垂直于这条弦
C.过弦中点的直线必过圆心
D.弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦

1. D

2. (2024·新疆)如图,AB是$\odot O$的直径,CD是$\odot O$的弦,$AB⊥CD$,垂足为E.若$CD=8,OD=$5,则BE的长为 ()

A.1
B.2
C.3
D.4

2. B

解：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB⊥CD$，$CD=8$，
∴$CE=DE=\frac{1}{2}CD=4$，$\angle OED=90°$。
在$Rt\triangle OED$中，$OD=5$，$DE=4$，
由勾股定理得$OE=\sqrt{OD^2-DE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
∵$OB=OD=5$，
∴$BE=OB-OE=5-3=2$。
答案：B

3. 如图,在$\odot O$中,弦AB的长为4,圆心到弦AB的距离为2,则$∠AOC$的度数为.

3. $45^{\circ}$

解：
∵OC⊥AB，O为圆心，
∴AC=BC=AB/2=4/2=2。
在Rt△AOC中，OC=2，AC=2，
∴tan∠AOC=AC/OC=2/2=1，
∴∠AOC=45°。
$45^{\circ}$

4. 在半径为2的圆中,垂直平分半径的弦的长为.

4. $2\sqrt{3}$

解：设圆的圆心为$O$，半径为$r = 2$，弦为$AB$，垂直平分半径$OC$于点$D$，则$OD=\frac{r}{2}=1$，$OA = r = 2$。
在$Rt\triangle AOD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{OA^{2}-OD^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。
因为$AB$垂直平分$OC$，所以$AB = 2AD = 2\sqrt{3}$。
$2\sqrt{3}$

5. 如图,AC是$\odot O$的直径,弦$BD⊥AO$于点E,连接BC,过点O作$OF⊥BC$于点F.若$BD=$8 cm,$AE=2$ cm,求$\odot O$的半径及OF的长.

5. 连接 $OB$。$\because AC$ 是 $\odot O$ 的直径，弦 $BD \perp AO$ 于点 $E$，$BD = 8\mathrm{cm}$，$\therefore BE = \frac{1}{2}BD = 4\mathrm{cm}$。设 $\odot O$ 的半径为 $x\mathrm{cm}$，则 $OB = OA = x\mathrm{cm}$，$OE = (x - 2)\mathrm{cm}$。在 $\mathrm{Rt}\triangle OEB$ 中，由勾股定理，得 $OE^{2} + BE^{2} = OB^{2}$，即 $(x - 2)^{2} + 4^{2} = x^{2}$，解得 $x = 5$。$\therefore \odot O$ 的半径为 $5\mathrm{cm}$，$\therefore EC = 2 × 5 - 2 = 8(\mathrm{cm})$，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}\triangle BEC$ 中，$BC = \sqrt{BE^{2} + EC^{2}} = \sqrt{4^{2} + 8^{2}} = 4\sqrt{5}(\mathrm{cm})$。$\because OF \perp BC$，$OF$ 过圆心，$\therefore CF = \frac{1}{2}BC = 2\sqrt{5}\mathrm{cm}$，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}\triangle OFC$ 中，$OF = \sqrt{OC^{2} - CF^{2}} = \sqrt{5^{2} - (2\sqrt{5})^{2}} = \sqrt{5}(\mathrm{cm})$

解：连接$OB$。
$\because AC$是$\odot O$的直径，弦$BD \perp AO$于点$E$，$BD = 8\, cm$，
$\therefore BE=\frac{1}{2}BD = 4\, cm$。
设$\odot O$的半径为$x\, cm$，则$OB = OA=x\, cm$，$OE=(x - 2)\, cm$。
在$ Rt\triangle OEB$中，由勾股定理得：
$OE^{2}+BE^{2}=OB^{2}$，即$(x - 2)^{2}+4^{2}=x^{2}$，
解得$x = 5$。
$\therefore \odot O$的半径为$5\, cm$。
$\because EC=AC - AE=2×5 - 2=8\, cm$，
在$ Rt\triangle BEC$中，$BC=\sqrt{BE^{2}+EC^{2}}=\sqrt{4^{2}+8^{2}}=4\sqrt{5}\, cm$。
$\because OF \perp BC$且$OF$过圆心，
$\therefore CF=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{5}\, cm$。
在$ Rt\triangle OFC$中，$OF=\sqrt{OC^{2}-CF^{2}}=\sqrt{5^{2}-(2\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{5}\, cm$。
$\odot O$的半径为$5\, cm$，$OF$的长为$\sqrt{5}\, cm$。

6. (2023·包头)如图,$\odot O$是锐角三角形ABC的外接圆,$OD⊥AB,OE⊥BC,$$OF⊥AC$,垂足分别为D、E、F,连接DE、EF、FD.若$DE+DF=6.5,\triangle ABC$的周长为21,则EF的长为 ()

A.8
B.4
C.3.5
D.3

6. B

证明：
∵ $OD \perp AB$，$OE \perp BC$，$OF \perp AC$，
∴ $D$、$E$、$F$ 分别为 $AB$、$BC$、$AC$ 的中点（垂径定理）。
∴ $DE$、$DF$、$EF$ 均为 $\triangle ABC$ 的中位线。
∴ $DE = \frac{1}{2}AC$，$DF = \frac{1}{2}BC$，$EF = \frac{1}{2}AB$。
∵ $\triangle ABC$ 周长为 $21$，
∴ $AB + BC + AC = 21$，
∴ $DE + DF + EF = \frac{1}{2}(AB + BC + AC) = \frac{21}{2} = 10.5$。
∵ $DE + DF = 6.5$，
∴ $EF = 10.5 - 6.5 = 4$。
答案：B

7. (分类讨论思想)已知$\odot O$的直径$CD=10$ cm,AB是$\odot O$的弦,$AB=8$ cm,且$AB⊥CD$,垂足为M,则AC的长为 ()

A.$2\sqrt {5}$ cm
B.$4\sqrt {5}$ cm
C.$2\sqrt {5}$ cm或$4\sqrt {5}$ cm
D.$2\sqrt {3}$ cm或$4\sqrt {3}$ cm

7. C

连接OA，
∵CD是直径，CD=10cm，
∴OA=OC=5cm，
∵AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=BM=4cm，
在Rt△OAM中，OM=$\sqrt{OA^2 - AM^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$cm，
当点M在OC上时，CM=OC - OM=5 - 3=2cm，
在Rt△ACM中，AC=$\sqrt{AM^2 + CM^2}=\sqrt{4^2 + 2^2}=2\sqrt{5}$cm，
当点M在OD上时，CM=OC + OM=5 + 3=8cm，
在Rt△ACM中，AC=$\sqrt{AM^2 + CM^2}=\sqrt{4^2 + 8^2}=4\sqrt{5}$cm，
综上，AC的长为$2\sqrt{5}$cm或$4\sqrt{5}$cm。
C