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9. 如图,AB和DE是$\odot O$的直径,弦$AC// DE$.若弦$BE=3$,则弦CE的长为
3
.答案
9.3
解析
证明：连接OC。
∵AC//DE，
∴∠A=∠DOB，∠ACO=∠COE。
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠DOB=∠COE。
∵AB和DE是⊙O的直径，
∴∠AOD=∠BOE。
∵∠AOD+∠DOB=∠BOE+∠COE，
∴∠AOB=∠COE+∠BOE=∠BOC，
∴∠DOB=∠COE。
∵OB=OE=OC=OD，
∴△DOB≌△COE（SAS），
∴BE=CE。
∵BE=3，
∴CE=3。
3
∵AC//DE，
∴∠A=∠DOB，∠ACO=∠COE。
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠DOB=∠COE。
∵AB和DE是⊙O的直径，
∴∠AOD=∠BOE。
∵∠AOD+∠DOB=∠BOE+∠COE，
∴∠AOB=∠COE+∠BOE=∠BOC，
∴∠DOB=∠COE。
∵OB=OE=OC=OD，
∴△DOB≌△COE（SAS），
∴BE=CE。
∵BE=3，
∴CE=3。
3
10. 如图,AB是$\odot O$的直径,C、D为半圆O的三等分点,$CE⊥AB$于E,连接AC、OD,则$∠ACE$的度数为
$30^{\circ}$
.答案
10.$30^{\circ}$
解析
证明：
∵AB是$\odot O$的直径，C、D为半圆O的三等分点，
∴$\angle AOC = \frac{1}{3} × 180° = 60°$．
∵OA=OC，
∴$\triangle AOC$是等边三角形，$\angle CAO = 60°$．
∵$CE \perp AB$，
∴$\angle AEC = 90°$，
∴$\angle ACE = 90° - \angle CAO = 90° - 60° = 30°$．
$30°$
∵AB是$\odot O$的直径，C、D为半圆O的三等分点，
∴$\angle AOC = \frac{1}{3} × 180° = 60°$．
∵OA=OC，
∴$\triangle AOC$是等边三角形，$\angle CAO = 60°$．
∵$CE \perp AB$，
∴$\angle AEC = 90°$，
∴$\angle ACE = 90° - \angle CAO = 90° - 60° = 30°$．
$30°$
11. 如图,AB是$\odot O$的直径,弦CD交AB于点M,且$OM=CM$.若$\overset{\frown}{AD}=x\overset{\frown}{BC}$,则x的值为
3
.答案
11.3 解析:连接 $OC$、$OD$。
∵ $OC = OD$，
∴ $\angle ODC=\angle OCD$。
∵ $OM = CM$，
∴ $\angle OCD=\angle BOC$，
∴ $\angle ODC=\angle BOC$，
∴ $\angle OMD=\angle OCD+\angle BOC=2\angle BOC$，
∴ $\angle AOD=\angle OMD+\angle ODC=3\angle BOC$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=3\overset{\frown}{BC}$，即 $x = 3$。
∵ $OC = OD$，
∴ $\angle ODC=\angle OCD$。
∵ $OM = CM$，
∴ $\angle OCD=\angle BOC$，
∴ $\angle ODC=\angle BOC$，
∴ $\angle OMD=\angle OCD+\angle BOC=2\angle BOC$，
∴ $\angle AOD=\angle OMD+\angle ODC=3\angle BOC$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=3\overset{\frown}{BC}$，即 $x = 3$。
12. 如图,在$\odot O$中,C是$\overset{\frown}{ACB}$的中点,D、E分别是OA、OB上的点,且$AD=BE$,弦CM、CN分别过点D、E.求证:
(1)$CD=CE$;
(2)$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
(1)$CD=CE$;
(2)$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
答案
12.(1)如图,连接 $OC$。
∵ $C$ 是 $\overset{\frown}{ACB}$ 的中点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $\angle COD=\angle COE$。
∵ $OA = OB$，$AD = BE$，
∴ $OD = OE$。又
∵ $OC = OC$，
∴ $\triangle COD\cong\triangle COE$，
∴ $CD = CE$ (2)如图,连接 $OM$、$ON$。
∵ $\triangle COD\cong\triangle COE$，
∴ $\angle CDO=\angle CEO$，$\angle OCD=\angle OCE$。
∵ $OC = OM = ON$，
∴ $\angle OCM=\angle M$，$\angle OCN=\angle N$，
∴ $\angle M=\angle N$。
∵ $\angle CDO=\angle M+\angle MOD$，$\angle CEO=\angle N+\angle NOE$，
∴ $\angle MOD=\angle NOE$，
∴ $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$
13. 如图,AB、DE为$\odot O$的直径,C是$\odot O$上一点,且$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$,连接BE、CE、AC、AD.
(1)BE与CE之间有什么数量关系? 为什么?
(2)若$∠BOE=60^{\circ}$,则四边形OACE是什么特殊四边形? 请说明理由.
(1)BE与CE之间有什么数量关系? 为什么?
(2)若$∠BOE=60^{\circ}$,则四边形OACE是什么特殊四边形? 请说明理由.
答案
13.(1)$BE = CE$
∵ $\angle BOE=\angle AOD$，
∴ $\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AD}$。
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$，
∴ $\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$，
∴ $BE = CE$ (2)四边形 $OACE$ 是菱形 理由:如图，连接 $OC$。
∵ $BE = CE$，
∴ $\angle BOE=\angle COE = 60^{\circ}$。又
∵ $OE = OC$，
∴ $\triangle OCE$ 为等边三角形，
∴ $CE = OE$。
∵ $\angle BOE+\angle COE+\angle AOC = 180^{\circ}$，
∴ $\angle AOC=\angle COE = 60^{\circ}$，
∴ $AC = CE$，
∴ $OE = CE = AC = OA$，
∴ 四边形 $OACE$ 是菱形。
