8. (新考法·综合与实践)(2024·凉山)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案如下：在工件圆弧上任取两点$A$、$B$，连接$AB$，作$AB$的垂直平分线$CD$交$AB$于点$D$，交$\overset{\frown}{AB}$于点$C$，测出$AB = 40cm$，$CD = 10cm$，则圆形工件的半径为$cm$。

8. 25

解：设圆形工件的半径为$r$ cm，圆心为$O$。连接$OA$，$OD$。
因为$CD$是$AB$的垂直平分线，所以$AD = \frac{AB}{2} = \frac{40}{2} = 20$ cm，$OD = r - CD = (r - 10)$ cm。
在$Rt\triangle AOD$中，由勾股定理得：$OA^2 = AD^2 + OD^2$，即$r^2 = 20^2 + (r - 10)^2$。
展开得：$r^2 = 400 + r^2 - 20r + 100$，化简得：$20r = 500$，解得$r = 25$。
25

9. 如图，在$5×7$的网格中，各小正方形的边长均为$1$，点$O$、$A$、$B$、$C$、$D$、$E$均在格点上，点$O$是$\triangle ABC$的外心，在不添加其他字母的情况下，则除$\triangle ABC$外，外心也是点$O$的三角形为。

9. $\triangle ABD$、$\triangle ACD$、$\triangle BCD$

10. 在如图所示的方格纸中，每个方格的边长为$1$，$A$、$O$两点均在格线的交点上。若在此方格纸格线的交点上另外找两点$B$、$C$，使得$\triangle ABC$的外心为点$O$，则$BC$的长为。

10. $2\sqrt{5}$

以点$O$为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个方格边长为$1$，则点$O$坐标为$(0,0)$。由图可知点$A$坐标为$(1,2)$。
因为$\triangle ABC$的外心为点$O$，所以$OA=OB=OC$。
计算$OA$的长度：$OA = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$，故$OB=OC=\sqrt{5}$。
在格线交点上，满足到$O$点距离为$\sqrt{5}$的点$B$、$C$，可选取$B(2,1)$，$C(-2,-1)$（或其他符合条件的点）。
计算$BC$的长度：$BC = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{(4)^2 + (2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
$2\sqrt{5}$

11. 已知平面直角坐标系中的三个点$A(1,-1)$、$B(-2,5)$、$C(4,-6)$，则$A$、$B$、$C$这三个点确定一个圆(填“可以”或“不可以”)。

11. 可以 解析：设经过点 $A$、$B$ 的直线对应的函数表达式为 $y = kx + b$。把点 $A$、$B$ 的坐标代入，得 $\left\{\begin{array}{l} k + b = -1, \\ -2k + b = 5, \end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l} k = -2, \\ b = 1. \end{array}\right.$ $\therefore$ 经过点 $A$、$B$ 的直线对应的函数表达式为 $y = -2x + 1$。当 $x = 4$ 时，$y = -2 × 4 + 1 = -7 \neq -6$，$\therefore$ 点 $C$ 不在直线 $AB$ 上，即点 $A$、$B$、$C$ 不在同一条直线上，$\therefore A$、$B$、$C$ 这三个点可以确定一个圆。

12. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$是$\angle BAC$的平分线，$EF$是$AC$的垂直平分线，交$AB$、$AD$、$AC$于点$E$、$O$、$F$。若$AB = 4$，$OF = 1$，求$\triangle ABC$的外接圆的面积。

12. $\because AB = AC$，$\therefore \triangle ABC$ 是等腰三角形。又 $\because AD$ 平分 $\angle BAC$，$\therefore AD$ 是 $BC$ 的垂直平分线。$\because EF$ 垂直平分 $AC$，$\therefore$ 点 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，$\therefore OA$ 是 $\triangle ABC$ 的外接圆的半径。在 $Rt\triangle AOF$ 中，$AF = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}AB = 2$，$OF = 1$，$\therefore OA = \sqrt{AF^{2} + OF^{2}} = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$，$\therefore \triangle ABC$ 的外接圆的面积为 $(\sqrt{5})^{2} × \pi = 5\pi$

13. （分类讨论思想）如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 5$，$BC = 6$，$\odot O$经过$B$、$C$两点，且$AO = 3$，求$\odot O$的半径。

13. 如图，过点 $A$ 作 $AD \perp BC$，垂足为 $D$。$\because AB = AC = 5$，$AD \perp BC$，$BC = 6$，$\therefore$ 易得点 $O$ 在直线 $AD$ 上，$BD = \frac{1}{2}BC = 3$，$\therefore$ 在 $Rt\triangle ABD$ 中，$AD = \sqrt{AB^{2} - BD^{2}} = 4$。当点 $O_{1}$ 在 $AD$ 的反向延长线上时，连接 $O_{1}B$。$\because O_{1}D = AD + AO_{1} = 4 + 3 = 7$，$\therefore$ 在 $Rt\triangle O_{1}BD$ 中，$O_{1}B = \sqrt{O_{1}D^{2} + BD^{2}} = \sqrt{7^{2} + 3^{2}} = \sqrt{58}$。当点 $O_{2}$ 在线段 $AD$ 上时，连接 $O_{2}B$。$\because O_{2}D = AD - AO_{2} = 4 - 3 = 1$，$\therefore$ 在 $Rt\triangle O_{2}BD$ 中，$O_{2}B = \sqrt{O_{2}D^{2} + BD^{2}} = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$。综上所述，$\odot O$ 的半径为 $\sqrt{58}$ 或 $\sqrt{10}$