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8. (整体思想)如图,点A、B、C、D、E均在$\odot O$上,且AC为$\odot O$的直径,连接AD、CE、BD、BE,则$∠A+∠B+∠C=$
90
$^{\circ }$.答案
8. 90
解析
证明：连接AE。
∵AC为$\odot O$的直径，
∴$\angle AEC = 90°$。
∵$\angle B = \angle DAE$（同弧$\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角相等），
$\angle C = \angle BAE$（同弧$\overset{\frown}{BE}$所对的圆周角相等），
∴$\angle A + \angle B + \angle C = \angle DAE + \angle BAE + \angle EAC = \angle BAC + \angle EAC = \angle BAE + \angle EAC = \angle BAC$。
又
∵$\angle AEC = 90°$，且$\angle BAC = \angle AEC$（同弧$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角相等），
∴$\angle A + \angle B + \angle C = 90°$。
$90$
∵AC为$\odot O$的直径，
∴$\angle AEC = 90°$。
∵$\angle B = \angle DAE$（同弧$\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角相等），
$\angle C = \angle BAE$（同弧$\overset{\frown}{BE}$所对的圆周角相等），
∴$\angle A + \angle B + \angle C = \angle DAE + \angle BAE + \angle EAC = \angle BAC + \angle EAC = \angle BAE + \angle EAC = \angle BAC$。
又
∵$\angle AEC = 90°$，且$\angle BAC = \angle AEC$（同弧$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角相等），
∴$\angle A + \angle B + \angle C = 90°$。
$90$
9. (2024·长春)如图,AB是半圆的直径,AC是一条弦,D是$\widehat {AC}$的中点,$DE⊥AB$于点E,交AC于点F,DB交AC于点G,连接AD.给出下面2个结论:①$∠ABD=∠DAC$;②$AF=FG$.上述结论中,正确结论的序号有
①②
.答案
9. ①② 解析: $\because D$ 是 $\overgroup{AC}$ 的中点, $\therefore \overgroup{AD} = \overgroup{CD}, \therefore \angle ABD = \angle DAC$. 故 ① 正确. $\because AB$ 是半圆的直径, $\therefore \angle ADB = 90^{\circ}, \therefore$ 在 $Rt \triangle ADB$ 中, $\angle DAB + \angle ABD = 90^{\circ}. \because DE \perp AB, \therefore$ 在 $Rt \triangle AED$ 中, $\angle DAB + \angle ADE = 90^{\circ}, \therefore \angle ABD = \angle ADE, \therefore \angle ADE = \angle DAC, \therefore AF = DF. \because$ 在 $Rt \triangle ADG$ 中, $\angle DAC + \angle AGD = 90^{\circ}, \angle ADE + \angle FDG = 90^{\circ}, \therefore \angle AGD = \angle FDG, \therefore DF = FG, \therefore AF = FG$. 综上所述, 正确结论的序号有 ①②.
解析
解：①
∵D是$\widehat{AC}$的中点，
∴$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，
∴$\angle ABD=\angle DAC$，故①正确；
②
∵AB是半圆的直径，
∴$\angle ADB=90°$，
∴$\angle DAB+\angle ABD=90°$，
∵$DE\perp AB$，
∴$\angle AED=90°$，
∴$\angle DAB+\angle ADE=90°$，
∴$\angle ABD=\angle ADE$，由①知$\angle ABD=\angle DAC$，
∴$\angle ADE=\angle DAC$，
∴$AF=DF$，
∵$\angle ADB=90°$，
∴$\angle ADG=90°$，
∴$\angle DAC+\angle AGD=90°$，
∵$\angle ADE+\angle FDG=90°$，$\angle ADE=\angle DAC$，
∴$\angle AGD=\angle FDG$，
∴$DF=FG$，
∴$AF=FG$，故②正确。
综上，正确结论的序号有①②。
∵D是$\widehat{AC}$的中点，
∴$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，
∴$\angle ABD=\angle DAC$，故①正确；
②
∵AB是半圆的直径，
∴$\angle ADB=90°$，
∴$\angle DAB+\angle ABD=90°$，
∵$DE\perp AB$，
∴$\angle AED=90°$，
∴$\angle DAB+\angle ADE=90°$，
∴$\angle ABD=\angle ADE$，由①知$\angle ABD=\angle DAC$，
∴$\angle ADE=\angle DAC$，
∴$AF=DF$，
∵$\angle ADB=90°$，
∴$\angle ADG=90°$，
∴$\angle DAC+\angle AGD=90°$，
∵$\angle ADE+\angle FDG=90°$，$\angle ADE=\angle DAC$，
∴$\angle AGD=\angle FDG$，
∴$DF=FG$，
∴$AF=FG$，故②正确。
综上，正确结论的序号有①②。
10. 如图,给出线段AC和线段a.
(1) 用直尺和圆规按要求作图(保留作图痕迹,并标明相应的字母,不写作法).
① 作线段AC的垂直平分线l,交线段AC于点O;
② 以线段AC为对角线,作矩形ABCD,使得$AB=a$,且点B在线段AC的上方.
(2) 当$AC=4,a=2$时,(1)中所作矩形ABCD的面积为
(1) 用直尺和圆规按要求作图(保留作图痕迹,并标明相应的字母,不写作法).
① 作线段AC的垂直平分线l,交线段AC于点O;
② 以线段AC为对角线,作矩形ABCD,使得$AB=a$,且点B在线段AC的上方.
(2) 当$AC=4,a=2$时,(1)中所作矩形ABCD的面积为
$4\sqrt{3}$
.答案
10. (1) ① 如图, 直线 $l$ 即为所求作
② 如图, 矩形 $ABCD$ 即为所求作 解析: 以 $AC$ 为直径作 $\odot O$, 以点 $A$ 为圆心, 在 $AC$ 上方截取 $AB = a$, 交 $\odot O$ 于点 $B$; 以点 $C$ 为圆心, 在 $AC$ 下方截取 $CD = a$, 交 $\odot O$ 于点 $D$, 连接 $AB$、$BC$、$CD$、$AD$.
(2) $4\sqrt{3}$
11. (2024·安徽)如图,$\odot O$是$△ABC$的外接圆,D是直径AB上一点,$∠ACD$的平分线交AB于点E,交$\odot O$于另一点F,$FA=FE$.
(1) 求证:$CD⊥AB$;
(2) 若$FM⊥AB$,垂足为M,$OM=OE=1$,求AC的长.
(1) 求证:$CD⊥AB$;
(2) 若$FM⊥AB$,垂足为M,$OM=OE=1$,求AC的长.
答案
11. (1) $\because FA = FE, \therefore \angle FAE = \angle AEF. \because \overgroup{BF} = \overgroup{BF}, \therefore \angle FAE = \angle BCE. \because \angle AEF = \angle CEB, \therefore \angle CEB = \angle BCE. \because CE$ 平分 $\angle ACD, \therefore \angle ACE = \angle DCE. \because AB$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore \angle ACB = 90^{\circ}$, 即 $\angle BCE + \angle ACE = 90^{\circ}, \therefore \angle CEB + \angle DCE = 90^{\circ}. \because \triangle CDE$ 的内角和为 $180^{\circ}, \therefore \angle CDE = 90^{\circ}, \therefore CD \perp AB$
(2) 由 (1) 知, $\angle BEC = \angle BCE, \therefore BE = BC. \because OM = OE = 1, \therefore ME = OM + OE = 2. \because AF = EF, FM \perp AB, \therefore MA = ME = 2, \therefore AE = 4, \therefore OA = OB = AE - OE = 3, \therefore BC = BE = OB - OE = 2, AB = OA + OB = 6, \therefore$ 在 $Rt \triangle ABC$ 中, $AC = \sqrt{AB^{2} - BC^{2}} = \sqrt{6^{2} - 2^{2}} = 4\sqrt{2}$
(2) 由 (1) 知, $\angle BEC = \angle BCE, \therefore BE = BC. \because OM = OE = 1, \therefore ME = OM + OE = 2. \because AF = EF, FM \perp AB, \therefore MA = ME = 2, \therefore AE = 4, \therefore OA = OB = AE - OE = 3, \therefore BC = BE = OB - OE = 2, AB = OA + OB = 6, \therefore$ 在 $Rt \triangle ABC$ 中, $AC = \sqrt{AB^{2} - BC^{2}} = \sqrt{6^{2} - 2^{2}} = 4\sqrt{2}$
