8. 如图，平行四边形 $ABCD$ 中，$AC⊥ BC$，过点 $D$ 作 $DE// AC$ 交 $BC$ 的延长线于点 $E$，$M$ 为 $AB$ 的中点，连接 $CM$。
(1) 求证：四边形 $ADEC$ 是矩形；
(2) 若 $CM = 5$，且 $AC = 8$，求四边形 $ADEB$ 的面积。

(2)72

(1)证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，即$AD// CE$。
∵$DE// AC$，
∴四边形$ADEC$是平行四边形。
∵$AC⊥ BC$，
∴$∠ ACB=90°$。
∵$AD// BC$，
∴$∠ DAC=∠ ACB=90°$。
∴平行四边形$ADEC$是矩形。
(2)解：
∵$AC⊥ BC$，
∴$△ ABC$是直角三角形。
∵$M$为$AB$中点，$CM=5$，
∴$AB=2CM=10$（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
在$Rt△ ABC$中，$AC=8$，$AB=10$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD=BC=6$。
∵四边形$ADEC$是矩形，
∴$CE=AD=6$，$DE=AC=8$。
∴$BE=BC+CE=6+6=12$。
∵$AD// BE$，
∴四边形$ADEB$是梯形，上底$AD=6$，下底$BE=12$，高$DE=8$。
∴$S_{四边形ADEB}=\frac{1}{2}(AD+BE)· DE=\frac{1}{2}×(6+12)×8=72$。

9. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$AE⊥ BC$，垂足为 $E$，延长 $BC$ 至点 $F$，使 $CF = BE$，连接 $AF$，$DE$，$DF$。
(1) 求证：四边形 $AEFD$ 是矩形；
(2) 若 $AB = 6$，$DE = 8$，$BF = 10$，求 $AE$ 的长。

(1) 见证明过程；(2) $AE = 4.8$。

(1) 证明：
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD // BC$ 且 $AD = BC$。
∵ $CF = BE$，
∴ $EF = EC + CF = EC + BE = BC$，
∴ $AD = EF$。
∵ $AD // EF$，
∴四边形 $AEFD$ 是平行四边形。
∵ $AE ⊥ BC$，
∴ $∠ AEF = 90°$，
∴平行四边形 $AEFD$ 是矩形。
(2) 解：
∵四边形 $AEFD$ 是矩形，
∴ $AF = DE = 8$。
在 $△ ABF$ 中，$AB = 6$，$AF = 8$，$BF = 10$，
∵ $6^2 + 8^2 = 10^2$，
∴ $△ ABF$ 是直角三角形，$∠ BAF = 90°$。
由面积公式：$\frac{1}{2} × AB × AF = \frac{1}{2} × BF × AE$，
即 $\frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × 10 × AE$，
解得 $AE = \frac{48}{10} = 4.8$。

10. 如图，在 $△ ABC$ 中，$O$ 是边 $AC$ 上的一个动点，过点 $O$ 作直线 $MN// BC$，交 $∠ ACB$ 的平分线于点 $E$，交 $△ ABC$ 的外角 $∠ ACD$ 的平分线于点 $F$。
(1) 求证：$OE = OF$；
(2) 连接 $AE$，$AF$，当点 $O$ 在边 $AC$ 上运动到什么位置时，四边形 $AECF$ 是矩形？请说明理由。

(1) 证明：
∵ MN//BC，
∴ ∠OEC=∠BCE（两直线平行，内错角相等）。
∵ CE平分∠ACB，
∴ ∠BCE=∠OCE，
∴ ∠OEC=∠OCE，
∴ OE=OC（等角对等边）。
同理，MN//BC，得∠OFC=∠DCF（两直线平行，内错角相等）。
∵ CF平分∠ACD，
∴ ∠DCF=∠OCF，
∴ ∠OFC=∠OCF，
∴ OF=OC（等角对等边）。
∴ OE=OF。
(2) 当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形。
理由：
∵ O为AC中点，
∴ OA=OC。
又∵ OE=OF，
∴ 四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵ CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴ ∠ACE=1/2∠ACB，∠ACF=1/2∠ACD。
∵ ∠ACB+∠ACD=180°，
∴ ∠ECF=∠ACE+∠ACF=1/2(∠ACB+∠ACD)=90°。
∴ 平行四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。

11. 如图，在 $□ ABCD$ 中，过点 $D$ 作 $DE⊥ AB$，垂足为 $E$，点 $F$ 在边 $CD$ 上，$DF = BE$，连接 $AF$，$BF$。
(1) 求证：四边形 $BFDE$ 是矩形；
(2) 若 $CF = 3$，$BF = 4$，$DF = 5$，求证：$AF$ 平分 $∠ DAB$。

(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD。
∵DF=BE，且AB//CD，∴四边形BFDE是平行四边形。
∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°。
∵四边形BFDE是平行四边形且有一个角为直角，∴四边形BFDE是矩形。
(2) ∵CF=3，DF=5，∴CD=CF+DF=8。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=8，AD=BC。
∵DF=BE=5，∴AE=AB-BE=8-5=3。
∵四边形BFDE是矩形，∴∠BFC=90°，BF=DE=4。
在Rt△BFC中，BC=√(CF²+BF²)=√(3²+4²)=5，∴AD=BC=5。
在Rt△ADE中，AE=3，DE=4，AD=5，∴AD=DF=5。
∴∠DAF=∠AFD。
∵AB//CD，∴∠BAF=∠AFD。
∴∠DAF=∠BAF，即AF平分∠DAB。