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如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = BC$，$BD$ 平分 $∠ ABC$，四边形 $ABED$ 是平行四边形，$DE$ 交 $BC$ 于点 $F$，连接 $CE$。求证：四边形 $BECD$ 是矩形。
答案
证明：
∵$AB = BC$，$BD$平分$∠ ABC$，
∴$BD⊥ AC$，$AD = DC$（等腰三角形三线合一），即$∠ CDB=90^{\circ}$。
∵四边形$ABED$是平行四边形，
∴$AD// BE$，$AD = BE$，$AB = DE$。
∵$AD = DC$，
∴$DC = BE$。
又∵$AD// BE$，$AD$与$DC$共线，
∴$DC// BE$。
∴四边形$BECD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵$AB = BC$，$AB = DE$，
∴$BC = DE$。
∴平行四边形$BECD$是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
结论：四边形$BECD$是矩形。
∵$AB = BC$，$BD$平分$∠ ABC$，
∴$BD⊥ AC$，$AD = DC$（等腰三角形三线合一），即$∠ CDB=90^{\circ}$。
∵四边形$ABED$是平行四边形，
∴$AD// BE$，$AD = BE$，$AB = DE$。
∵$AD = DC$，
∴$DC = BE$。
又∵$AD// BE$，$AD$与$DC$共线，
∴$DC// BE$。
∴四边形$BECD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵$AB = BC$，$AB = DE$，
∴$BC = DE$。
∴平行四边形$BECD$是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
结论：四边形$BECD$是矩形。
1. 已知平行四边形 $ABCD$，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是()
A.$∠ A=∠ B$
B.$∠ A=∠ C$
C.$AC = BD$
D.$AB⊥ BC$
A.$∠ A=∠ B$
B.$∠ A=∠ C$
C.$AC = BD$
D.$AB⊥ BC$
答案
B
解析
在平行四边形ABCD中，
选项A：∠A=∠B，因为平行四边形邻角互补，即∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可判定为矩形；
选项B：平行四边形对角相等，∠A=∠C是平行四边形的固有性质，不能判定为矩形；
选项C：AC=BD，对角线相等的平行四边形是矩形，可判定；
选项D：AB⊥BC，即∠B=90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形，可判定。
选项A：∠A=∠B，因为平行四边形邻角互补，即∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可判定为矩形；
选项B：平行四边形对角相等，∠A=∠C是平行四边形的固有性质，不能判定为矩形；
选项C：AC=BD，对角线相等的平行四边形是矩形，可判定；
选项D：AB⊥BC，即∠B=90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形，可判定。
2. 如图，顺次连接四边形 $ABCD$ 各边中点得四边形 $EFGH$，要使 $EFGH$ 为矩形，应添加的条件是()
A.$AB// DC$
B.$AC = BD$
C.$AC⊥ BD$
D.$AB = DC$
A.$AB// DC$
B.$AC = BD$
C.$AC⊥ BD$
D.$AB = DC$
答案
C
解析
连接四边形各边中点所得四边形EFGH为中点四边形，由三角形中位线定理知，EFGH的对边分别平行且等于原四边形对角线的一半，故EFGH必为平行四边形。要使平行四边形EFGH为矩形，需有一个角为直角，即邻边垂直。因EFGH的邻边分别平行于原四边形的两条对角线，故原四边形对角线垂直时，EFGH邻边垂直，即为矩形。应添加条件AC⊥BD。
3. 如图，已知 $MN// PQ$，$EF$ 与 $MN$，$PQ$ 分别交于 $A$，$C$ 两点，过 $A$，$C$ 两点作两组内错角的平分线，分别交于点 $B$，$D$，则四边形 $ABCD$矩形(填“是”或“不是”)。
答案
是
解析
∵MN//PQ，EF截MN、PQ于A、C，∴∠MAC=∠ACQ（内错角相等），∠NAC=∠ACP（内错角相等）。
∵AB平分∠MAC，CD平分∠ACQ，∴∠BAC=∠MAC/2，∠ACD=∠ACQ/2，∴∠BAC=∠ACD，∴AB//CD。
∵AD平分∠NAC，BC平分∠ACP，∴∠DAC=∠NAC/2，∠ACB=∠ACP/2，∴∠DAC=∠ACB，∴AD//BC。
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵∠MAC+∠NAC=180°（平角定义），AB平分∠MAC，AD平分∠NAC，∴∠BAC+∠DAC=(∠MAC+∠NAC)/2=90°，即∠BAD=90°。
∴平行四边形ABCD是矩形。
∵AB平分∠MAC，CD平分∠ACQ，∴∠BAC=∠MAC/2，∠ACD=∠ACQ/2，∴∠BAC=∠ACD，∴AB//CD。
∵AD平分∠NAC，BC平分∠ACP，∴∠DAC=∠NAC/2，∠ACB=∠ACP/2，∴∠DAC=∠ACB，∴AD//BC。
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵∠MAC+∠NAC=180°（平角定义），AB平分∠MAC，AD平分∠NAC，∴∠BAC+∠DAC=(∠MAC+∠NAC)/2=90°，即∠BAD=90°。
∴平行四边形ABCD是矩形。
4. 在平面直角坐标系中，已知点 $A$，$B$，$C$ 的坐标分别为 $(-2,-1)$，$(2,3)$，$(2,-1)$。在平面直角坐标系中找到一点 $D$，使以 $A$，$B$，$C$，$D$ 为顶点的四边形为矩形，则 $BD$ 的长为，点 $D$ 的坐标为。
答案
4，(-2,3)
解析
已知点A(-2,-1)，B(2,3)，C(2,-1)。先计算AC、BC长度及位置关系：AC为水平线段，长4；BC为竖直线段，长4，且AC⊥BC（∠C为直角）。
要构成矩形，以AC、BC为邻边，设D(x,y)。矩形中AD=BC=4，BD=AC=4。
由AD=4：√[(x+2)²+(y+1)²]=4；由BD=4：√[(x-2)²+(y-3)²]=4。
联立方程解得x=-2，y=3，即D(-2,3)。BD长为|2-(-2)|=4。
要构成矩形，以AC、BC为邻边，设D(x,y)。矩形中AD=BC=4，BD=AC=4。
由AD=4：√[(x+2)²+(y+1)²]=4；由BD=4：√[(x-2)²+(y-3)²]=4。
联立方程解得x=-2，y=3，即D(-2,3)。BD长为|2-(-2)|=4。
5. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ BAC = 90^{\circ}$，且 $AB = 3$，$AC = 4$，$D$ 是斜边 $BC$ 上的一个动点，过点 $D$ 分别作 $DM⊥ AB$，垂足为 $M$，$DN⊥ AC$，垂足为 $N$，连接 $MN$，则线段 $MN$ 的最小值为。
答案
$\frac{12}{5}$
解析
在$Rt△ABC$中，$∠BAC=90^{\circ}$，$AB=3$，$AC=4$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
因为$DM⊥AB$，$DN⊥AC$，$∠BAC=90^{\circ}$，所以四边形$AMDN$为矩形（三个角是直角的四边形是矩形），则$MN=AD$（矩形对角线相等）。
要使$MN$最小，即需$AD$最小。当$AD⊥BC$时，$AD$最小（垂线段最短）。
由$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}BC·AD$，得$AD=\frac{AB·AC}{BC}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
故$MN$的最小值为$\frac{12}{5}$。
因为$DM⊥AB$，$DN⊥AC$，$∠BAC=90^{\circ}$，所以四边形$AMDN$为矩形（三个角是直角的四边形是矩形），则$MN=AD$（矩形对角线相等）。
要使$MN$最小，即需$AD$最小。当$AD⊥BC$时，$AD$最小（垂线段最短）。
由$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}BC·AD$，得$AD=\frac{AB·AC}{BC}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
故$MN$的最小值为$\frac{12}{5}$。
6. 在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$∠ AOB = 2∠ BOC$，$AC = 20\ cm$，则 $AD=$$cm$。
答案
10
解析
在矩形$ABCD$中，对角线$AC$、$BD$相交于点$O$，则$AC=BD=20\,\mathrm{cm}$，且$AO=OC=BO=OD=\frac{1}{2}AC=10\,\mathrm{cm}$。
因为$∠ AOB + ∠ BOC = 180°$，且$∠ AOB = 2∠ BOC$，设$∠ BOC = x$，则$2x + x = 180°$，解得$x = 60°$，即$∠ BOC = 60°$。
在$△ BOC$中，$BO = OC = 10\,\mathrm{cm}$，$∠ BOC = 60°$，故$△ BOC$为等边三角形，所以$BC = BO = 10\,\mathrm{cm}$。
因为矩形对边相等，所以$AD = BC = 10\,\mathrm{cm}$。
因为$∠ AOB + ∠ BOC = 180°$，且$∠ AOB = 2∠ BOC$，设$∠ BOC = x$，则$2x + x = 180°$，解得$x = 60°$，即$∠ BOC = 60°$。
在$△ BOC$中，$BO = OC = 10\,\mathrm{cm}$，$∠ BOC = 60°$，故$△ BOC$为等边三角形，所以$BC = BO = 10\,\mathrm{cm}$。
因为矩形对边相等，所以$AD = BC = 10\,\mathrm{cm}$。
7. 如图所示，已知 $□ ABCD$，下列条件：① $AC = BD$，② $AB = AD$，③ $∠ 1=∠ 2$，④ $AB⊥ BC$ 中，能说明 $□ ABCD$ 是矩形的有(填序号)。
答案
①④
解析
①对角线相等的平行四边形是矩形，所以①正确；②邻边相等的平行四边形是菱形，不是矩形，所以②错误；③∠1=∠2可推出AD=CD，邻边相等的平行四边形是菱形，不是矩形，所以③错误；④有一个角是直角的平行四边形是矩形，AB⊥BC即∠B=90°，所以④正确。
