18. (12分)如图，已知二次函数$y = -x^2 + bx + c$的图像是顶点为D的抛物线，且与一直线相交于点A(-1,0)、C(2,3)，与y轴交于点N.
(1) 求这个二次函数的表达式及直线AC相应的函数表达式.
(2) 设点M的坐标为(3,m)，当m取何值时，$MN + MD$的值最小？
(3) 若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作$EF // BD$，交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由.
(4) 若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求$\triangle APC$面积的最大值.

解：​(1)​由二次函数​y=-x²+bx+c ​的图像经过点​A(-1，​​0)，​​C(2，​​3)​
$​\begin{cases}{-1-b+c=0 } \\{-4+2b+c=3} \end{cases}​ $解得$​\begin{cases}{b=2}\\{c=3}\end{cases}​$
∴函数表达式为​y= -x²+ 2x +3​
由直线​AC​经过点​A(-1，​​0)，​​C(2，​​3)​
可得函数表达式为​y=x+ 1​
​(2)​由​y= -x²+2x+ 3，​得​N(0，​​3)，​​D(1，​​4)​
点​D​关于过点​(3，​​0)​且与​y​轴平行的直线的对称点​D'​的坐标为​(5，​​4)​
连接​ND'，​则​ND'​的函数表达式为$​y=\frac {1}{5}x+ 3​$
​ND'​交一次函数​x = 3​的图像于点​M(3，$​​\frac {18}{5})​$
即$​m=\frac {18}{5}，$​此时​MN+MD​的值最小
​(3)​二次函数​y= -x²+2x+3​的图像的对称轴为过点​(1，​​0)​且与​y​轴平行的直线
因此​B(1，​​2)，​​D(1，​​4)，​​BD= 2​
若以​B、​​D、​​E、​​F ​为顶点的四边形是平行四边形，且​EF//BD​
则​EF= BD​
设点​E、​​F ​的坐标分别为​(t，​​t+1)、​​(t，​​-t²+2t+3)​
则​|(-t²+2t+3)-(t+1)|=2​
解得$​{t}_1= 0，$$​​{t}_2= 1(​$舍去)，$​{t}_3=\frac {1+\sqrt{17}}{2}，$$​​{t}_4=\frac {1-\sqrt{17}}{2} ​$
∴$​{E}_1(0，$​​1)，$​​{E}_2(\frac {1+\sqrt{17}}{2}，$$​​\frac {3+\sqrt{17}}{2})，$$​​{E}_3(\frac {1-\sqrt{17}}{2}，$$​​\frac {3-\sqrt{17}}{2})​$
​(4)​过点​P ​作​PQ//y​轴，交​AC​于点​Q​
设点​P ​的坐标为​(a，​​-a²+ 2a+ 3)，​则点​Q ​的坐标为​(a，​​a + 1)​
∵点​P ​在​AC​上方
∴​PQ=(-a²+2a+3)- (a+1)= -a²+a+2​
∴$​S_{△APC}= S_{△APQ}+ S_{△CPQ}​$
$​=\frac {1}{2}(-a²+a+2) · [2-(-1)]​$
$​=-\frac {3}{2}(a-\frac {1}{2})²+\frac {27}{8}​$
∴当$​a=\frac {1}{2}​$时，$​S_{△APC}​$的最大值为$​\frac {27}{8}​$