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15. (8分)已知关于x的一元二次方程$x^2 + x - m = 0$.
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2) 二次函数$y = x^2 + x - m$的部分图像如图所示，求一元二次方程$x^2 + x - m = 0$的解.
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2) 二次函数$y = x^2 + x - m$的部分图像如图所示，求一元二次方程$x^2 + x - m = 0$的解.
答案
解： (1)由题意知$b²-4ac=1+ 4m\gt 0$
解得$m＞-\frac {1}{4}$
(2)由图像知x²+x-m=0的一个根为1
∴1²+1-m= 0
∴m=2，即一元二次方程为x²+x-2=0
解得${x}_1= 1，$${x}_2= -2$
∴一元二次方程x²+x-m=0的解为${x}_1=1，$${x}_2=-2$
解得$m＞-\frac {1}{4}$
(2)由图像知x²+x-m=0的一个根为1
∴1²+1-m= 0
∴m=2，即一元二次方程为x²+x-2=0
解得${x}_1= 1，$${x}_2= -2$
∴一元二次方程x²+x-m=0的解为${x}_1=1，$${x}_2=-2$
16. (10分)如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2 m的A处击出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足函数表达式$y = a(x - 6)^2 + h$.已知球网与点O的水平距离为9 m，球网高度为2.43 m，球场的边界距点O的水平距离为18 m.
(1) 当$h = 2.6$时，求y与x之间的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围).
(2) 当$h = 2.6$时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由.
(3) 若球一定能越过球网，又不出界，求h的取值范围.
(1) 当$h = 2.6$时，求y与x之间的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围).
(2) 当$h = 2.6$时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由.
(3) 若球一定能越过球网，又不出界，求h的取值范围.
答案
解：(1)把x=0，y= 2及h= 2.6代入y= a(x-6)²+h
即2=a(0-6)²+2.6
∴$a=-\frac {1}{60}$
当h= 2.6时，y与x的函数表达式为$y=-\frac {1}{60}(x-6)²+ 2.6 $
(2)当h= 2.6时，$y=-\frac {1}{60}(x- 6)²+2.6$
∴当x=9时；
$y=-\frac {1}{60}(9- 6)²+ 2.6= 2.45\gt 2.43$
∴球能越过网
∵当y= 0时，即$-\frac {1}{60}(x-6)²+2.6= 0$
解得${x}_1=6+\sqrt{156}\gt 18，$${x}_2= 6-\sqrt{156}($不合题意，舍去)
或当x = 18时，$y=-\frac {1}{60}(18- 6)²+ 2.6= 0.2\gt 0$
∴球会出界
(3)把x=0，y= 2，代入y=a(x-6)²+h 得$a=\frac {2-h}{36}$
当x=9时，$y=\frac {2-h}{36}×(9-6)²+h=\frac {2+3h}{4}＞2.43①$
当x=18时，$y=\frac {2-h}{36}×(18-6)²+h=8-3h≤0 ②$
由①②解得$h≥\frac {8}{3}。$
∴若球一 定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围为$h≥\frac {8}{3}$
即2=a(0-6)²+2.6
∴$a=-\frac {1}{60}$
当h= 2.6时，y与x的函数表达式为$y=-\frac {1}{60}(x-6)²+ 2.6 $
(2)当h= 2.6时，$y=-\frac {1}{60}(x- 6)²+2.6$
∴当x=9时；
$y=-\frac {1}{60}(9- 6)²+ 2.6= 2.45\gt 2.43$
∴球能越过网
∵当y= 0时，即$-\frac {1}{60}(x-6)²+2.6= 0$
解得${x}_1=6+\sqrt{156}\gt 18，$${x}_2= 6-\sqrt{156}($不合题意，舍去)
或当x = 18时，$y=-\frac {1}{60}(18- 6)²+ 2.6= 0.2\gt 0$
∴球会出界
(3)把x=0，y= 2，代入y=a(x-6)²+h 得$a=\frac {2-h}{36}$
当x=9时，$y=\frac {2-h}{36}×(9-6)²+h=\frac {2+3h}{4}＞2.43①$
当x=18时，$y=\frac {2-h}{36}×(18-6)²+h=8-3h≤0 ②$
由①②解得$h≥\frac {8}{3}。$
∴若球一 定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围为$h≥\frac {8}{3}$
17. (12分)某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量(件)与时间(天)的关系如下表：
未来40天内，前20天每天的价格$y_1$(元/件)与t时间(天)的函数表达式为：$y_1 = \frac{1}{4}t + 25$(1≤t≤20且t为整数)；后20天每天的价格$y_2$(元/件)与t时间(天)的函数表达式为：$y_2 = -\frac{1}{2}t + 40$(21≤t≤40且t为整数).
(1) 分析上表中数据的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数量之间关系的函数表达式.
(2) 请预测未来40天中哪一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少.
(3) 在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a ＜ 4)给环保基金，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围.
未来40天内，前20天每天的价格$y_1$(元/件)与t时间(天)的函数表达式为：$y_1 = \frac{1}{4}t + 25$(1≤t≤20且t为整数)；后20天每天的价格$y_2$(元/件)与t时间(天)的函数表达式为：$y_2 = -\frac{1}{2}t + 40$(21≤t≤40且t为整数).
(1) 分析上表中数据的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数量之间关系的函数表达式.
(2) 请预测未来40天中哪一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少.
(3) 在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a ＜ 4)给环保基金，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围.
答案
解：(1)把x=0，y= 2及h= 2.6代入y= a(x-6)²+h
即2=a(0-6)²+2.6
∴$a=-\frac {1}{60}$
当h= 2.6时，y与x的函数表达式为$y=-\frac {1}{60}(x-6)²+ 2.6 $
(2)当h= 2.6时，$y=-\frac {1}{60}(x- 6)²+2.6$
∴当x=9时；
$y=-\frac {1}{60}(9- 6)²+ 2.6= 2.45\gt 2.43$
∴球能越过网
∵当y= 0时，即$-\frac {1}{60}(x-6)²+2.6= 0$
解得${x}_1=6+\sqrt{156}\gt 18，$${x}_2= 6-\sqrt{156}($不合题意，舍去)
或当x = 18时，$y=-\frac {1}{60}(18- 6)²+ 2.6= 0.2\gt 0$
∴球会出界
(3)把x=0，y= 2，代入y=a(x-6)²+h 得$a=\frac {2-h}{36}$
当x=9时，$y=\frac {2-h}{36}×(9-6)²+h=\frac {2+3h}{4}＞2.43①$
当x=18时，$y=\frac {2-h}{36}×(18-6)²+h=8-3h≤0 ②$
由①②解得$h≥\frac {8}{3}。$
∴若球一 定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围为$h≥\frac {8}{3}$
解： (1)设时间为t，日销售量为m，则m=-2t + 96
(2)设销售利润为w
当1≤t≤20 时，$w= (-2t+96) · (\frac {1}{4}t+25-20)= -\frac {1}{2}(t-14)²+ 578$
当t= 14时，$W_{最大}= 578$
当21≤t≤40时，$w= (-2t + 96) · (-\frac {1}{2}t+40-20)=(t-44)²-16$
当t=21时，$W_{最大}= 513$
综上知，当t= 14时，利润最大，最大利润是578元
(3)根据题意，得$w= (-2t + 96)(\frac {1}{4}t+5-a)(1≤t≤20)$
整理得$w=-\frac {1}{2}[t- 2(a+7)]²+ 2(a-17)²(1≤t≤20)$
则2(a+7)≥20且$a\lt 4$
∴$3≤a\lt 4$
即2=a(0-6)²+2.6
∴$a=-\frac {1}{60}$
当h= 2.6时，y与x的函数表达式为$y=-\frac {1}{60}(x-6)²+ 2.6 $
(2)当h= 2.6时，$y=-\frac {1}{60}(x- 6)²+2.6$
∴当x=9时；
$y=-\frac {1}{60}(9- 6)²+ 2.6= 2.45\gt 2.43$
∴球能越过网
∵当y= 0时，即$-\frac {1}{60}(x-6)²+2.6= 0$
解得${x}_1=6+\sqrt{156}\gt 18，$${x}_2= 6-\sqrt{156}($不合题意，舍去)
或当x = 18时，$y=-\frac {1}{60}(18- 6)²+ 2.6= 0.2\gt 0$
∴球会出界
(3)把x=0，y= 2，代入y=a(x-6)²+h 得$a=\frac {2-h}{36}$
当x=9时，$y=\frac {2-h}{36}×(9-6)²+h=\frac {2+3h}{4}＞2.43①$
当x=18时，$y=\frac {2-h}{36}×(18-6)²+h=8-3h≤0 ②$
由①②解得$h≥\frac {8}{3}。$
∴若球一 定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围为$h≥\frac {8}{3}$
解： (1)设时间为t，日销售量为m，则m=-2t + 96
(2)设销售利润为w
当1≤t≤20 时，$w= (-2t+96) · (\frac {1}{4}t+25-20)= -\frac {1}{2}(t-14)²+ 578$
当t= 14时，$W_{最大}= 578$
当21≤t≤40时，$w= (-2t + 96) · (-\frac {1}{2}t+40-20)=(t-44)²-16$
当t=21时，$W_{最大}= 513$
综上知，当t= 14时，利润最大，最大利润是578元
(3)根据题意，得$w= (-2t + 96)(\frac {1}{4}t+5-a)(1≤t≤20)$
整理得$w=-\frac {1}{2}[t- 2(a+7)]²+ 2(a-17)²(1≤t≤20)$
则2(a+7)≥20且$a\lt 4$
∴$3≤a\lt 4$
