24. (本小题满分13分)已知二次函数$y=x^2-2mx$($m$是常数,且$m≠0$)的图象经过点$A(2m+1,y_1)$和点$B(m-1,y_2)$.
(1) 若$m=2$,求抛物线顶点的坐标;
(2) 若存在实数$k$,使得$y_2-1=k(y_1-1)$,且$1＜k＜2$,求$m$的取值范围;
(3) 当$m-1≤ x≤2m+1$时,随着$x$的值增大,$y$的值先减小再增大,且$y$的最大值与$y$的最小值的差等于$3$,求$m$的值.

(1)$(2,-4)$；(2)$-4 ＜ m ＜ -2$；(3)$\sqrt{3}-1$。

(1) 当$m=2$时，二次函数为$y=x^2 - 4x$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2$，代入得$y=2^2 - 4×2=-4$，顶点坐标为$(2,-4)$。
(2) 由题意，$y_1=(2m+1)^2 - 2m(2m+1)=2m+1$，$y_2=(m-1)^2 - 2m(m-1)=-m^2 + 1$。由$y_2 - 1 = k(y_1 - 1)$得$-m^2 = 2mk$，$k=-\frac{m}{2}$。因$1 ＜ k ＜ 2$，故$1 ＜ -\frac{m}{2} ＜ 2$，解得$-4 ＜ m ＜ -2$。
(3) 二次函数对称轴为$x=m$，因$y$先减后增，区间$[m-1,2m+1]$必含对称轴，即$m-1 ≤ m ≤ 2m+1$，得$m ≥ -1$。最小值为$y=m^2 - 2m^2=-m^2$。
当$-1 ≤ m ＜ 0$时，$y_{\mathrm{max}}=-m^2 + 1$，$(-m^2 + 1)-(-m^2)=1 ≠ 3$，无解。
当$m ＞ 0$时，$y_{\mathrm{max}}=2m + 1$，$(2m + 1)-(-m^2)=m^2 + 2m + 1=3$，即$(m + 1)^2=3$，解得$m=\sqrt{3}-1$（$m=-\sqrt{3}-1$舍去）。
综上，$m=\sqrt{3}-1$。