25. (本小题满分13分)综合与实践:某数学兴趣组开展“矩形纸片的裁剪”专题探究活动,他们计划利用矩形纸片$ABCD$裁剪出一个三角形,使其面积等于矩形面积的一半.
【思路分享】
(1) 兴趣组的三位同学分别给出了裁剪思路:
① 小明:沿对角线$AC$所在的直线裁剪,得到$△ ABC$;
② 小华:在$CD$上取一点$E$,分别沿$AE$,$BE$所在的直线裁剪,得到$△ ABE$;
③ 小红:在$BC$上取一点$E$,分别沿$AE$,$DE$所在的直线裁剪,得到$△ ADE$.
上述裁剪思路中,能得到符合要求的三角形的是(填序号).
【深度探究】
(2) 小强发现三位同学给出的思路中,所得三角形至少有两个顶点与矩形顶点重合,他给出“所得三角形只有一个顶点与矩形顶点重合时”的思路:如图①,在$BC$,$CD$上分别取点$E$,$F$,沿$AE$,$AF$,$EF$所在的直线裁剪,得到$△ AEF$.通过论证,小强发现$S_{△ AEF}＜\dfrac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}ABCD}$.
小强的证明过程

如图①,过点$F$作$FG⊥ AB$,垂足为$G$,$FG$交$AE$于点$H$,连接$GE$,则四边形$AGFD$,$BGFC$均为矩形,$S_{△ AHF}＜S_{△ AFG}$,$S_{△ EHF}＜S_{△ EFG}$.
得到$S_{△ AHF}+S_{△ EHF}＜S_{△ AFG}+S_{△ EFG}$,
即$S_{△ AHF}+S_{△ EHF}＜\dfrac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}AGFD}+\dfrac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}BGFC}$,
所以$S_{△ AEF}＜\dfrac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}ABCD}$.

请进一步探究:如图②,在矩形$ABCD$的三边上分别取不与矩形的顶点重合的点$E$,$F$,$G$,连接$EF$,$FG$,$GE$.
求证:$S_{△ EFG}＜\dfrac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}ABCD}$.
【拓展运用】
(3) 请解决该兴趣组提出的新问题:若$AB=8\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,能否用矩形纸片$ABCD$裁剪出等腰三角形,使其面积等于矩形面积的一半? 若能,请求出等腰三角形的腰长;若不能,请说明理由.

(1) ①②③
(2) 证明：设矩形 $ABCD$ 中，点 $G$ 在 $AD$ 上，$E$ 在 $AB$ 上，$F$ 在 $CD$ 上，过 $F$ 作 $FH ⊥ AB$ 于 $H$，交 $AD$ 于 $I$，则四边形 $AIHD$、$BHIC$ 为矩形。连接 $GE$ 交 $FH$ 于 $K$，则 $S_{△ EKF} ＜ S_{△ EHF}$，$S_{△ GKF} ＜ S_{△ GIH}$。
$\because S_{△ EHF} = \frac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}BHIC}$，$S_{△ GIH} = \frac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}AIHD}$，
$\therefore S_{△ EFG} = S_{△ EKF} + S_{△ GKF} ＜ \frac{1}{2}(S_{\mathrm{矩形}BHIC} + S_{\mathrm{矩形}AIHD}) = \frac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}ABCD}$。
(3) 能。
矩形面积为 $8 × 6 = 48\ \mathrm{cm}^2$，等腰三角形面积为 $24\ \mathrm{cm}^2$。
情况1：以 $AB=8\ \mathrm{cm}$ 为底，高为 $6\ \mathrm{cm}$（即矩形宽），顶点 $E$ 为 $CD$ 中点，腰长 $AE=BE=\sqrt{6^2 + 4^2} = 2\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$。
情况2：以 $BC=6\ \mathrm{cm}$ 为底，高为 $8\ \mathrm{cm}$（即矩形长），顶点 $E$ 为 $AD$ 中点，腰长 $AE=DE=\sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{73}\ \mathrm{cm}$。
综上，腰长为 $2\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$ 或 $\sqrt{73}\ \mathrm{cm}$。