1. 若在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中， $ ∠ C = 90^{\circ} $， $ BC = 6 $， $ AC = 8 $，则 $ AB = $。

$10$

在直角三角形中，根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边的平方和，即$AB^{2} = AC^{2} + BC^{2}$。
已知$BC = 6$，$AC = 8$，将其代入可得：
$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2} + 6^{2}}=\sqrt{64 + 36}=\sqrt{100}=10$。

2. 如图，以直角三角形的三边为边向外作三个正方形 $ \mathrm{A} $， $ \mathrm{B} $， $ \mathrm{C} $。若 $ S_{\mathrm{A}} = 26 $， $ S_{\mathrm{B}} = 18 $，则 $ S_{\mathrm{C}} = $。

8

设直角三角形的两条直角边分别为 $a$ 和 $b$，斜边为 $c$。根据题意，正方形 $A$、$B$、$C$ 的面积分别为 $S_A$、$S_B$、$S_C$。
根据正方形的面积公式，$S_A = c^2$，$S_B = a^2$，$S_C = b^2$。
由勾股定理，得 $a^2 + b^2 = c^2$。
已知 $S_A = 26$，$S_B = 18$，则：
$c^2 = 26$，$a^2 = 18$。
代入勾股定理的等式，得：
$18 + S_C = 26$。
解得：
$S_C = 26 - 18 = 8$。

3. 勾股定理在《九章算术》中的表述是“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦。”即 $ c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} $( $ a $ 为“勾”， $ b $ 为“股”， $ c $ 为“弦”)。若“勾”为 $ 3 $，“股”为 $ 5 $，则“弦”最接近的整数是。

6

由勾股定理得，弦$ c = \sqrt{3^{2} + 5^{2}} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$。因为$ 5^{2}=25$，$ 6^{2}=36$，$ 34$更接近$ 36$，所以$ \sqrt{34}$最接近的整数是$ 6$。

4. 如图，在 $ △ ABC $ 中， $ ∠ C = 90^{\circ} $， $ D $ 为 $ BC $ 上一点， $ AC = 4 $， $ AD = 5 $， $ AB = 4\sqrt{5} $。求 $ BD $ 的长。

在$Rt△ ACD$中，$∠ C=90^{\circ}$，$AC=4$，$AD=5$，由勾股定理得：$CD^{2}=AD^{2}-AC^{2}=5^{2}-4^{2}=9$，$\therefore CD=3$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$AC=4$，$AB=4\sqrt{5}$，由勾股定理得：$BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}=(4\sqrt{5})^{2}-4^{2}=80 - 16=64$，$\therefore BC=8$。
$\because BD=BC - CD$，$\therefore BD=8 - 3=5$。
答：$BD$的长为$5$。

5. 提升题 现有 $ 4 $ 个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为 $ a $， $ b $，斜边长为 $ c $，将它们拼合为图示形状。用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理。
（1）请将证明过程补充完整。
方法一：组合图形的面积 $ = $ 以 $ c $ 为边的正方形的面积 $ + $ 两个直角三角形的面积，结果化简为；
方法二：组合图形的面积 $ = $ 以 $ a $ 和 $ b $ 为边的两个小正方形的面积 $ + $ 两个直角三角形的面积，结果化简为。
根据面积相等，直接得等式，化简后的结果是。
（2）当 $ a = 3 $， $ b = 4 $ 时，求空白部分的面积。

（1）$c^{2}+ab$；$a^{2}+b^{2}+ab$；$c^{2}+ab=a^{2}+b^{2}+ab$；$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
（2）13