登录
1. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为 $ S_{1} $， $ S_{2} $， $ S_{3} $。若 $ S_{2} - S_{1} + S_{3} = 24 $，则图中阴影部分的面积为。
答案
6
解析
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。设$S_1$、$S_2$、$S_3$分别为以直角边、直角边、斜边为边的正方形面积，则$S_1 = a^2$，$S_2 = b^2$，$S_3 = c^2$。代入$S_2 - S_1 + S_3 = 24$，得$b^2 - a^2 + c^2 = 24$。又因$c^2 = a^2 + b^2$，代入得$b^2 - a^2 + a^2 + b^2 = 2b^2 = 24$，故$b^2 = 12$。阴影部分为以直角边b为直角边的等腰直角三角形，面积为$\frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2}×12 = 6$。
2. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中， $ ∠ A = 90^{\circ} $， $ AC = 2 $， $ AB = 1 $， $ BC = a $，则代数式 $ (a - 1)^{2} + 2a $ 的值为。
答案
6
解析
在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=2，AB=1，由勾股定理得BC²=AB²+AC²=1²+2²=5，所以a=√5（a＞0）。
代数式(a-1)²+2a=a²-2a+1+2a=a²+1，将a²=5代入得5+1=6。
代数式(a-1)²+2a=a²-2a+1+2a=a²+1，将a²=5代入得5+1=6。
3. 如图，将两个完全相同的直角三角形纸板叠放在一起， $ ∠ A = ∠ F = 30^{\circ} $。若 $ BD = \sqrt{3} $，则 $ CE $ 的长度为。
答案
3/2
解析
设BC=a，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，则AB=2a，AC=√3a。因两三角形完全相同，故DC=BC=a，FC=AC=√3a。△BDC中，BC=DC=a，∠B=60°，故△BDC为等边三角形，BD=BC=a=√3，得a=√3，AC=√3a=3。以C为原点建立坐标系，A(0,3)，B(√3,0)，AB方程为y=-√3x+3。求得D(√3/2,3/2)，F(-3√3/2,3/2)，FD方程为y=3/2，与AC(x=0)交于E(0,3/2)，故CE=3/2。
4. 一个直角三角形的斜边长为 $ a + 4 $，一条直角边长为 $ a $。
（1）用含 $ a $ 的代数式表示这个直角三角形另一条直角边的长；
（2）当 $ a = 4 $ 时，这个直角三角形的面积是多少？
（1）用含 $ a $ 的代数式表示这个直角三角形另一条直角边的长；
（2）当 $ a = 4 $ 时，这个直角三角形的面积是多少？
答案
（1）设另一条直角边长为 $ b $，由勾股定理得：$ b^2 + a^2 = (a + 4)^2 $，展开得 $ b^2 + a^2 = a^2 + 8a + 16 $，移项化简得 $ b^2 = 8a + 16 $，$ b = \sqrt{8a + 16} = 2\sqrt{2a + 4} $（边长为正，舍去负根）。
（2）当 $ a = 4 $ 时，另一条直角边 $ b = 2\sqrt{2×4 + 4} = 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3} $，面积 $ S = \frac{1}{2}×a×b = \frac{1}{2}×4×4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} $。
（1）$ 2\sqrt{2a + 4} $；（2）$ 8\sqrt{3} $
（2）当 $ a = 4 $ 时，另一条直角边 $ b = 2\sqrt{2×4 + 4} = 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3} $，面积 $ S = \frac{1}{2}×a×b = \frac{1}{2}×4×4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} $。
（1）$ 2\sqrt{2a + 4} $；（2）$ 8\sqrt{3} $
5. 提升题 如图，在 $ △ ABC $ 中， $ AB = 15 $， $ BC = 14 $， $ AC = 13 $，求 $ △ ABC $ 的面积。
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程。
(1)作 $ AD ⊥ BC $ 于点 $ D $，设 $ BD = x $。用含 $ x $ 的代数式表示 $ CD $，则 $ CD = $；
(2)请根据勾股定理，利用 $ AD $ 作为“桥梁”建立方程，并求出 $ x $ 的值；
(3)利用勾股定理求出 $ AD $ 的长，再计算 $ △ ABC $ 的面积。
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程。
(1)作 $ AD ⊥ BC $ 于点 $ D $，设 $ BD = x $。用含 $ x $ 的代数式表示 $ CD $，则 $ CD = $；
(2)请根据勾股定理，利用 $ AD $ 作为“桥梁”建立方程，并求出 $ x $ 的值；
(3)利用勾股定理求出 $ AD $ 的长，再计算 $ △ ABC $ 的面积。
答案
(1)
因为$BC = 14$，设$BD = x$，所以$CD=14 - x$。
(2)
在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=15^{2}-x^{2}$。
在$Rt△ ACD$中，根据勾股定理$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=13^{2}-(14 - x)^{2}$。
所以$15^{2}-x^{2}=13^{2}-(14 - x)^{2}$，
$225 - x^{2}=169-(196 - 28x+x^{2})$，
$225 - x^{2}=169 - 196+28x - x^{2}$，
$225=169 - 196+28x$，
$28x=225+196 - 169$，
$28x=252$，
解得$x = 9$。
(3)
在$Rt△ ABD$中，$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{15^{2}-9^{2}}=\sqrt{225 - 81}=\sqrt{144}=12$。
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×14×12 = 84$。
综上，答案依次为：(1)$14 - x$；(2)$x = 9$；(3)$84$。
因为$BC = 14$，设$BD = x$，所以$CD=14 - x$。
(2)
在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=15^{2}-x^{2}$。
在$Rt△ ACD$中，根据勾股定理$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=13^{2}-(14 - x)^{2}$。
所以$15^{2}-x^{2}=13^{2}-(14 - x)^{2}$，
$225 - x^{2}=169-(196 - 28x+x^{2})$，
$225 - x^{2}=169 - 196+28x - x^{2}$，
$225=169 - 196+28x$，
$28x=225+196 - 169$，
$28x=252$，
解得$x = 9$。
(3)
在$Rt△ ABD$中，$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{15^{2}-9^{2}}=\sqrt{225 - 81}=\sqrt{144}=12$。
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×14×12 = 84$。
综上，答案依次为：(1)$14 - x$；(2)$x = 9$；(3)$84$。
