1. 由于台风的影响，一棵树在离地面 $ 6 \mathrm{ m} $ 处折断，树顶落在离树干底部 $ 8 \mathrm{ m} $ 处，如图。这棵树在折断前(不包括树根)的长度是 $ \mathrm{m} $。

16

设折断部分长度为 $ x $ m，根据勾股定理，$ x^2 = 6^2 + 8^2 $，解得 $ x = 10 $。树折断前长度为 $ 6 + 10 = 16 $ m。

2. 如图，一艘轮船从港口 $ O $ 出发向东北方向航行了 $ 16 \mathrm{ n mile} $ 到达 $ A $ 处，在港口的东南方向 $ 12 \mathrm{ n mile} $ 处有一灯塔 $ B $，则 $ A $， $ B $ 之间的距离是 $ \mathrm{n mile} $。

20

由题意，港口 $ O $ 向东北方向航行到 $ A $ 处，航行了 $ 16 $ n mile，因此 $ OA = 16 $ n mile。
灯塔 $ B $ 在港口 $ O $ 的东南方向 $ 12 $ n mile 处，因此 $ OB = 12 $ n mile。
东北方向和东南方向夹角为 $90°$，所以 $△ OAB$ 中 $∠ AOB = 90°$。
根据直角三角形的勾股定理：
$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20 \mathrm{n mile}$。

3. 如图，高度为 $ 1 \mathrm{ m} $ 的平台上有一根长为 $ 8 \mathrm{ m} $ 的木杆垂直于台面 $ AB $。在一阵大风后，木杆从点 $ E $ 处折断， $ AE $ 依然垂直于 $ AB $，木杆顶端落在地面的点 $ D $ 处。已知 $ AB // CD $， $ AB = 2 \mathrm{ m} $， $ CD = 1 \mathrm{ m} $，则木杆依然直立的部分 $ AE $ 的长为。

$\frac{31}{9}$

设木杆依然直立的部分 $ AE $ 的长为 $ x $ 米，则折断部分 $ ED $ 的长为 $ (8 - x) $ 米。平台高度为 $ 1 \, \mathrm{m} $，故 $ E $ 点离地面的高度为 $ (1 + x) \, \mathrm{m} $。由于 $ AB // CD $，$ AB = 2 \, \mathrm{m} $，$ CD = 1 \, \mathrm{m} $，可得 $ E $ 点到 $ D $ 点的水平距离为 $ 1 \, \mathrm{m} $。根据勾股定理，有 $ 1^2 + (1 + x)^2 = (8 - x)^2 $。解方程得 $ x = \frac{31}{9} $。

4. 中国传统房屋往往将屋脊做成三角形形状，如图①。图②是房梁的平面示意图， $ MN $ 是加固房梁的一根横撑。若 $ AB = AC = 5 \mathrm{ m} $， $ BC = 6 \mathrm{ m} $， $ M $ 为 $ BC $ 的中点， $ MN ⊥ AC $ 于点 $ N $，则 $ MN $ 的长度为 $ \mathrm{m} $。

12/5

连接AM，∵AB=AC，M为BC中点，∴AM⊥BC，BM=MC=3m。在Rt△AMC中，AC=5m，MC=3m，由勾股定理得AM²=AC²-MC²=5²-3²=16，∴AM=4m。S△AMC=1/2×MC×AM=1/2×3×4=6。又∵S△AMC=1/2×AC×MN，∴1/2×5×MN=6，解得MN=12/5。

5. 提升题 如图①，云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到 $ 30 \mathrm{ m} $，消防车高 $ 3 \mathrm{ m} $。如图②，某栋楼发生火灾，在这栋楼的 $ B $ 处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置 $ A $ 与楼房的距离为 $ 24 \mathrm{ m} $。
（1）求 $ B $ 处与地面的距离；
（2）完成 $ B $ 处的救援后，消防员发现在 $ B $ 处上方 $ 6 \mathrm{ m} $ 的 $ D $ 处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车应从 $ A $ 处向着火的楼房靠近的距离 $ AC $ 为多少米？

（1）设云梯底部离地面高度为3m，消防车与楼房水平距离为24m，云梯长度30m。在直角三角形中，水平距离24m，斜边30m，另一直角边为：$\sqrt{30^2 - 24^2} = \sqrt{900 - 576} = \sqrt{324} = 18$m。B处与地面距离为$18 + 3 = 21$m。
（2）D处离地面距离为$21 + 6 = 27$m，云梯底部离地面3m，故D到云梯底部垂直距离为$27 - 3 = 24$m。设消防车靠近距离为AC=x，此时水平距离为$24 - x$m。由勾股定理：$(24 - x)^2 + 24^2 = 30^2$，即$(24 - x)^2 = 900 - 576 = 324$，$24 - x = 18$，解得$x = 6$m。
（1）21米；（2）6米。