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1. 判断
(1) $ A × B = 1 $，所以 $ A $ 是 $ B $ 的倒数。……………………………………()
(2) 一根绳子第一次剪去它的 $ \frac{4}{7} $，第二次剪去 $ \frac{5}{7} $ 米，第二次剪得多。…()
(3) 乙数的 $ \frac{2}{3} $ 比甲数的 $ \frac{1}{6} $ 小，乙数比甲数大。…………………………()
(4) 小王先喝了一杯水的 $ \frac{1}{3} $，再喝了剩下的 $ \frac{1}{3} $，还剩下这杯水的 $ \frac{1}{3} $。…()
(5) $ \frac{3}{4} $ 吨大豆能榨油 $ \frac{1}{3} $ 吨，每吨大豆可榨油几吨？列式为：$ \frac{3}{4} ÷ \frac{1}{3} $。…()
(1) $ A × B = 1 $，所以 $ A $ 是 $ B $ 的倒数。……………………………………()
(2) 一根绳子第一次剪去它的 $ \frac{4}{7} $，第二次剪去 $ \frac{5}{7} $ 米，第二次剪得多。…()
(3) 乙数的 $ \frac{2}{3} $ 比甲数的 $ \frac{1}{6} $ 小，乙数比甲数大。…………………………()
(4) 小王先喝了一杯水的 $ \frac{1}{3} $，再喝了剩下的 $ \frac{1}{3} $，还剩下这杯水的 $ \frac{1}{3} $。…()
(5) $ \frac{3}{4} $ 吨大豆能榨油 $ \frac{1}{3} $ 吨，每吨大豆可榨油几吨？列式为：$ \frac{3}{4} ÷ \frac{1}{3} $。…()
答案
(1)√；(2)×；(3)×；(4)×；(5)×
解析
(1) 根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，若$A×B=1$，则$A$是$B$的倒数，此说法正确。
(2) 绳子总长未知，第一次剪去它的$\frac{4}{7}$后，剩余长度无法确定与$\frac{5}{7}$米的大小关系，不能判断第二次剪得多，此说法错误。
(3) 由“乙数的$\frac{2}{3}$比甲数的$\frac{1}{6}$小”可得：$\mathrm{乙数}×\frac{2}{3}＜\mathrm{甲数}×\frac{1}{6}$，举例：设乙数为3，则$3×\frac{2}{3}=2$，可得甲数＞12，此时乙数＜甲数，说明乙数不一定比甲数大，此说法错误。
(4) 先喝$\frac{1}{3}$后剩下$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，再喝剩下的$\frac{1}{3}$，即喝了$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$，剩余$1-(\frac{1}{3}+\frac{2}{9})=\frac{4}{9}≠\frac{1}{3}$，此说法错误。
(5) 求每吨大豆可榨油的吨数，需用榨油总吨数除以大豆总吨数，正确列式为$\frac{1}{3}÷\frac{3}{4}$，题目列式错误。
(2) 绳子总长未知，第一次剪去它的$\frac{4}{7}$后，剩余长度无法确定与$\frac{5}{7}$米的大小关系，不能判断第二次剪得多，此说法错误。
(3) 由“乙数的$\frac{2}{3}$比甲数的$\frac{1}{6}$小”可得：$\mathrm{乙数}×\frac{2}{3}＜\mathrm{甲数}×\frac{1}{6}$，举例：设乙数为3，则$3×\frac{2}{3}=2$，可得甲数＞12，此时乙数＜甲数，说明乙数不一定比甲数大，此说法错误。
(4) 先喝$\frac{1}{3}$后剩下$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，再喝剩下的$\frac{1}{3}$，即喝了$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$，剩余$1-(\frac{1}{3}+\frac{2}{9})=\frac{4}{9}≠\frac{1}{3}$，此说法错误。
(5) 求每吨大豆可榨油的吨数，需用榨油总吨数除以大豆总吨数，正确列式为$\frac{1}{3}÷\frac{3}{4}$，题目列式错误。
2. 计算
$ \frac{3}{8} + \frac{4}{9} $ $ \frac{8}{15} - \frac{3}{10} $ $ \frac{7}{12} × \frac{6}{35} $ $ \frac{13}{21} ÷ \frac{26}{27} $
$ \frac{5}{9} - \frac{1}{6} + \frac{4}{9} $ $ \frac{3}{4} - \frac{5}{7} + \frac{1}{2} $ $ 1 - \frac{1}{8} - \frac{7}{8} $
$ \frac{3}{8} + \frac{4}{9} $ $ \frac{8}{15} - \frac{3}{10} $ $ \frac{7}{12} × \frac{6}{35} $ $ \frac{13}{21} ÷ \frac{26}{27} $
$ \frac{5}{9} - \frac{1}{6} + \frac{4}{9} $ $ \frac{3}{4} - \frac{5}{7} + \frac{1}{2} $ $ 1 - \frac{1}{8} - \frac{7}{8} $
答案
$\frac{3}{8} + \frac{4}{9} = \frac{27}{72} + \frac{32}{72} = \frac{59}{72}$
$\frac{8}{15} - \frac{3}{10} = \frac{16}{30} - \frac{9}{30} = \frac{7}{30}$
$\frac{7}{12} × \frac{6}{35} = \frac{7×6}{12×35} = \frac{1×1}{2×5} = \frac{1}{10}$
$\frac{13}{21} ÷ \frac{26}{27} = \frac{13}{21} × \frac{27}{26} = \frac{1×9}{7×2} = \frac{9}{14}$
$\frac{5}{9} - \frac{1}{6} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} - \frac{1}{6} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
$\frac{3}{4} - \frac{5}{7} + \frac{1}{2} = \frac{21}{28} - \frac{20}{28} + \frac{14}{28} = \frac{15}{28}$
$1 - \frac{1}{8} - \frac{7}{8} = 1 - (\frac{1}{8} + \frac{7}{8}) = 1 - 1 = 0$
$\frac{8}{15} - \frac{3}{10} = \frac{16}{30} - \frac{9}{30} = \frac{7}{30}$
$\frac{7}{12} × \frac{6}{35} = \frac{7×6}{12×35} = \frac{1×1}{2×5} = \frac{1}{10}$
$\frac{13}{21} ÷ \frac{26}{27} = \frac{13}{21} × \frac{27}{26} = \frac{1×9}{7×2} = \frac{9}{14}$
$\frac{5}{9} - \frac{1}{6} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} - \frac{1}{6} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
$\frac{3}{4} - \frac{5}{7} + \frac{1}{2} = \frac{21}{28} - \frac{20}{28} + \frac{14}{28} = \frac{15}{28}$
$1 - \frac{1}{8} - \frac{7}{8} = 1 - (\frac{1}{8} + \frac{7}{8}) = 1 - 1 = 0$
解析
【分析】
这是一组分数四则运算题，包含异分母分数加减法、分数乘除法以及分数加减混合运算，解题思路如下：
1. 异分母分数加减法：先找到分母的最小公倍数进行通分，将异分母分数转化为同分母分数，再按照同分母分数加减法的法则，分子相加减，分母不变，最后结果化为最简分数。
2. 分数乘法：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，计算前先观察分子分母是否有公因数，能约分的先约分再计算更简便。
3. 分数除法：根据除法法则，除以一个分数等于乘这个分数的倒数，转化为分数乘法后再按乘法法则计算。
4. 分数加减混合运算：先观察算式特点，能运用加法交换律、结合律或减法性质进行简便计算的优先使用简便方法，不能简便的则按从左到右的顺序，结合异分母分数加减法法则计算。
【解析】
1. $\frac{3}{8} + \frac{4}{9}$：
先通分，8和9的最小公倍数是72，
$\frac{3}{8} + \frac{4}{9} = \frac{27}{72} + \frac{32}{72} = \frac{59}{72}$
2. $\frac{8}{15} - \frac{3}{10}$：
15和10的最小公倍数是30，
$\frac{8}{15} - \frac{3}{10} = \frac{16}{30} - \frac{9}{30} = \frac{7}{30}$
3. $\frac{7}{12} × \frac{6}{35}$：
先约分，7和35约分为1和5，6和12约分为1和2，
$\frac{7}{12} × \frac{6}{35} = \frac{1×1}{2×5} = \frac{1}{10}$
4. $\frac{13}{21} ÷ \frac{26}{27}$：
转化为乘法，即$\frac{13}{21} × \frac{27}{26}$，13和26约分为1和2，27和21约分为9和7，
$\frac{13}{21} × \frac{27}{26} = \frac{1×9}{7×2} = \frac{9}{14}$
5. $\frac{5}{9} - \frac{1}{6} + \frac{4}{9}$：
运用加法交换律，先算$\frac{5}{9}+\frac{4}{9}$，
$\frac{5}{9} - \frac{1}{6} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} - \frac{1}{6} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
6. $\frac{3}{4} - \frac{5}{7} + \frac{1}{2}$：
先通分，4、7、2的最小公倍数是28，
$\frac{3}{4} - \frac{5}{7} + \frac{1}{2} = \frac{21}{28} - \frac{20}{28} + \frac{14}{28} = \frac{15}{28}$
7. $1 - \frac{1}{8} - \frac{7}{8}$：
运用减法的性质，先算$\frac{1}{8}+\frac{7}{8}$，
$1 - \frac{1}{8} - \frac{7}{8} = 1 - (\frac{1}{8} + \frac{7}{8}) = 1 - 1 = 0$
【答案】
$\frac{59}{72}$；$\frac{7}{30}$；$\frac{1}{10}$；$\frac{9}{14}$；$\frac{5}{6}$；$\frac{15}{28}$；$0$
【知识点】
异分母分数加减法、分数乘除法运算、分数简便运算
【点评】
这组题目涵盖了分数四则运算的基础题型，既考查了异分母分数通分、约分的基本技能，也考查了分数乘除法的转化法则，部分题目可通过加法交换律、减法性质进行简便计算，能帮助学生巩固分数运算的基础知识，提升运算能力，计算时需注意通分的准确性、约分的合理性以及简便方法的灵活运用。
【难度系数】
0.8
这是一组分数四则运算题，包含异分母分数加减法、分数乘除法以及分数加减混合运算，解题思路如下：
1. 异分母分数加减法：先找到分母的最小公倍数进行通分，将异分母分数转化为同分母分数，再按照同分母分数加减法的法则，分子相加减，分母不变，最后结果化为最简分数。
2. 分数乘法：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，计算前先观察分子分母是否有公因数，能约分的先约分再计算更简便。
3. 分数除法：根据除法法则，除以一个分数等于乘这个分数的倒数，转化为分数乘法后再按乘法法则计算。
4. 分数加减混合运算：先观察算式特点，能运用加法交换律、结合律或减法性质进行简便计算的优先使用简便方法，不能简便的则按从左到右的顺序，结合异分母分数加减法法则计算。
【解析】
1. $\frac{3}{8} + \frac{4}{9}$：
先通分，8和9的最小公倍数是72，
$\frac{3}{8} + \frac{4}{9} = \frac{27}{72} + \frac{32}{72} = \frac{59}{72}$
2. $\frac{8}{15} - \frac{3}{10}$：
15和10的最小公倍数是30，
$\frac{8}{15} - \frac{3}{10} = \frac{16}{30} - \frac{9}{30} = \frac{7}{30}$
3. $\frac{7}{12} × \frac{6}{35}$：
先约分，7和35约分为1和5，6和12约分为1和2，
$\frac{7}{12} × \frac{6}{35} = \frac{1×1}{2×5} = \frac{1}{10}$
4. $\frac{13}{21} ÷ \frac{26}{27}$：
转化为乘法，即$\frac{13}{21} × \frac{27}{26}$，13和26约分为1和2，27和21约分为9和7，
$\frac{13}{21} × \frac{27}{26} = \frac{1×9}{7×2} = \frac{9}{14}$
5. $\frac{5}{9} - \frac{1}{6} + \frac{4}{9}$：
运用加法交换律，先算$\frac{5}{9}+\frac{4}{9}$，
$\frac{5}{9} - \frac{1}{6} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} - \frac{1}{6} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
6. $\frac{3}{4} - \frac{5}{7} + \frac{1}{2}$：
先通分，4、7、2的最小公倍数是28，
$\frac{3}{4} - \frac{5}{7} + \frac{1}{2} = \frac{21}{28} - \frac{20}{28} + \frac{14}{28} = \frac{15}{28}$
7. $1 - \frac{1}{8} - \frac{7}{8}$：
运用减法的性质，先算$\frac{1}{8}+\frac{7}{8}$，
$1 - \frac{1}{8} - \frac{7}{8} = 1 - (\frac{1}{8} + \frac{7}{8}) = 1 - 1 = 0$
【答案】
$\frac{59}{72}$；$\frac{7}{30}$；$\frac{1}{10}$；$\frac{9}{14}$；$\frac{5}{6}$；$\frac{15}{28}$；$0$
【知识点】
异分母分数加减法、分数乘除法运算、分数简便运算
【点评】
这组题目涵盖了分数四则运算的基础题型，既考查了异分母分数通分、约分的基本技能，也考查了分数乘除法的转化法则，部分题目可通过加法交换律、减法性质进行简便计算，能帮助学生巩固分数运算的基础知识，提升运算能力，计算时需注意通分的准确性、约分的合理性以及简便方法的灵活运用。
【难度系数】
0.8
3. 张晓需完成一份稿件，第一天完成了 $ \frac{1}{3} $，第二天完成了 $ \frac{2}{9} $，还剩下几分之几没有完成？
答案
$1 - \frac{1}{3} - \frac{2}{9}$
$= \frac{9}{9} - \frac{3}{9} - \frac{2}{9}$
$= \frac{4}{9}$
答：还剩下$\frac{4}{9}$没有完成。
$= \frac{9}{9} - \frac{3}{9} - \frac{2}{9}$
$= \frac{4}{9}$
答：还剩下$\frac{4}{9}$没有完成。
解析
【分析】
我们可以把这份稿件的总量看作单位“1”，要求剩下几分之几没完成，就用单位“1”依次减去第一天和第二天完成的占比。由于是异分母分数相减，需要先通分，将它们转化为同分母分数后再进行计算，这样就能得出剩余的占比。
【解析】
$1 - \frac{1}{3} - \frac{2}{9}$
$= \frac{9}{9} - \frac{3}{9} - \frac{2}{9}$
$= \frac{4}{9}$
答：还剩下$\frac{4}{9}$没有完成。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
异分母分数减法、单位“1”的应用
【点评】
本题是基础的分数减法应用题，核心是找准表示整体的单位“1”，掌握异分母分数通分的方法，通过简单的分数加减运算解决实际问题，帮助学生巩固分数运算的基础知识。
【难度系数】
0.8
我们可以把这份稿件的总量看作单位“1”，要求剩下几分之几没完成，就用单位“1”依次减去第一天和第二天完成的占比。由于是异分母分数相减，需要先通分，将它们转化为同分母分数后再进行计算，这样就能得出剩余的占比。
【解析】
$1 - \frac{1}{3} - \frac{2}{9}$
$= \frac{9}{9} - \frac{3}{9} - \frac{2}{9}$
$= \frac{4}{9}$
答：还剩下$\frac{4}{9}$没有完成。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
异分母分数减法、单位“1”的应用
【点评】
本题是基础的分数减法应用题，核心是找准表示整体的单位“1”，掌握异分母分数通分的方法，通过简单的分数加减运算解决实际问题，帮助学生巩固分数运算的基础知识。
【难度系数】
0.8
4. 水果店运来一批水果，苹果比橘子多 $ \frac{1}{3} $，刚好多 200 千克，橘子有多少千克？（先画图再计算）
答案
画图：
1. 画一条线段表示橘子的重量，将其平均分成3等份；
2. 画一条线段表示苹果的重量，长度比橘子的线段多1份，多的这1份标注“200千克”。
计算：
$200÷\frac{1}{3}=600$（千克）
答：橘子有600千克。
1. 画一条线段表示橘子的重量，将其平均分成3等份；
2. 画一条线段表示苹果的重量，长度比橘子的线段多1份，多的这1份标注“200千克”。
计算：
$200÷\frac{1}{3}=600$（千克）
答：橘子有600千克。
解析
【分析】
首先确定单位“1”，题目中“苹果比橘子多$\frac{1}{3}$”是把橘子的重量看作单位“1”，将橘子重量平均分成3份，苹果比橘子多的部分占橘子的$\frac{1}{3}$，这部分对应的具体重量是200千克。解题思路：先通过画图直观呈现橘子和苹果的重量关系，明确多的1份（即橘子重量的$\frac{1}{3}$）是200千克，再根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，用多的重量除以对应分率，即可求出橘子的重量。
【解析】
画图步骤：
1. 画一条线段表示橘子的重量，将其平均分成3等份；
2. 画一条线段表示苹果的重量，长度比橘子的线段多1份，把多的这1份标注“200千克”。
计算步骤：
因为苹果比橘子多的$\frac{1}{3}$对应200千克，求橘子的重量（单位“1”），用除法计算：
$200÷\frac{1}{3}=600$（千克）
答：橘子有600千克。
【答案】
600千克
【知识点】
分数除法应用题、单位“1”的确定
【点评】
这是一道基础分数除法应用题，核心是找准单位“1”，理清对应量与对应分率的关系，借助线段图能更直观理解数量关系，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
首先确定单位“1”，题目中“苹果比橘子多$\frac{1}{3}$”是把橘子的重量看作单位“1”，将橘子重量平均分成3份，苹果比橘子多的部分占橘子的$\frac{1}{3}$，这部分对应的具体重量是200千克。解题思路：先通过画图直观呈现橘子和苹果的重量关系，明确多的1份（即橘子重量的$\frac{1}{3}$）是200千克，再根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，用多的重量除以对应分率，即可求出橘子的重量。
【解析】
画图步骤：
1. 画一条线段表示橘子的重量，将其平均分成3等份；
2. 画一条线段表示苹果的重量，长度比橘子的线段多1份，把多的这1份标注“200千克”。
计算步骤：
因为苹果比橘子多的$\frac{1}{3}$对应200千克，求橘子的重量（单位“1”），用除法计算：
$200÷\frac{1}{3}=600$（千克）
答：橘子有600千克。
【答案】
600千克
【知识点】
分数除法应用题、单位“1”的确定
【点评】
这是一道基础分数除法应用题，核心是找准单位“1”，理清对应量与对应分率的关系，借助线段图能更直观理解数量关系，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
5. 三家商店搞促销活动，洗衣粉原价每袋 25 元，现在甲店买五送一，乙店打八折，丙店在九折基础上再打九折。妈妈想买 6 袋洗衣粉，到哪家买合算？
答案
甲店：
25×5 = 125（元）
乙店：
25×6×0.8 = 120（元）
丙店：
25×6×0.9×0.9 = 121.5（元）
120 ＜ 121.5 ＜ 125
答：到乙店买合算。
25×5 = 125（元）
乙店：
25×6×0.8 = 120（元）
丙店：
25×6×0.9×0.9 = 121.5（元）
120 ＜ 121.5 ＜ 125
答：到乙店买合算。
解析
【分析】
要判断到哪家店买合算，需分别计算在甲、乙、丙三家店购买6袋洗衣粉的总价，再比较总价大小，选择总价最低的店铺。具体思路：
1. 甲店“买五送一”，买5袋就会赠送1袋，刚好能得到6袋，因此只需计算5袋洗衣粉的总价；
2. 乙店打八折，即按原价的80%售卖，总价=洗衣粉原价×购买数量×折扣率；
3. 丙店是在九折基础上再打九折，需用原价先乘90%，再乘90%来计算6袋的最终总价；
最后对比三家店的总价，数值最小的店铺就是最合算的。
【解析】
1. 甲店花费：
甲店买五送一，买5袋即可获得6袋，
$25×5 = 125$（元）
2. 乙店花费：
乙店打八折，折扣率为0.8，
$25×6×0.8 = 120$（元）
3. 丙店花费：
丙店九折基础上再打九折，
$25×6×0.9×0.9 = 121.5$（元）
4. 比较三家店的花费：
$120 ＜ 121.5 ＜ 125$
答：到乙店买合算。
【答案】
到乙店买合算。
【知识点】
折扣问题、乘法运算、方案优化选择
【点评】
本题考查折扣在实际生活中的应用，需要准确理解不同促销活动的规则，通过计算各店铺的实际花费并比较大小，选出最优购买方案，提升解决实际经济问题的能力。
【难度系数】
0.8
要判断到哪家店买合算，需分别计算在甲、乙、丙三家店购买6袋洗衣粉的总价，再比较总价大小，选择总价最低的店铺。具体思路：
1. 甲店“买五送一”，买5袋就会赠送1袋，刚好能得到6袋，因此只需计算5袋洗衣粉的总价；
2. 乙店打八折，即按原价的80%售卖，总价=洗衣粉原价×购买数量×折扣率；
3. 丙店是在九折基础上再打九折，需用原价先乘90%，再乘90%来计算6袋的最终总价；
最后对比三家店的总价，数值最小的店铺就是最合算的。
【解析】
1. 甲店花费：
甲店买五送一，买5袋即可获得6袋，
$25×5 = 125$（元）
2. 乙店花费：
乙店打八折，折扣率为0.8，
$25×6×0.8 = 120$（元）
3. 丙店花费：
丙店九折基础上再打九折，
$25×6×0.9×0.9 = 121.5$（元）
4. 比较三家店的花费：
$120 ＜ 121.5 ＜ 125$
答：到乙店买合算。
【答案】
到乙店买合算。
【知识点】
折扣问题、乘法运算、方案优化选择
【点评】
本题考查折扣在实际生活中的应用，需要准确理解不同促销活动的规则，通过计算各店铺的实际花费并比较大小，选出最优购买方案，提升解决实际经济问题的能力。
【难度系数】
0.8
