5. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ ∠ ABC = 25^{\circ} $。若使 $ △ ABC $ 以点 $ C $ 为旋转中心按顺时针方向旋转后得到 $ △ A'B'C $，且点 $ A $ 在 $ A'B' $ 上，则旋转角度为。

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，则∠BAC=180°-90°-25°=65°。
由旋转性质得：△ABC≌△A'B'C，故CA=CA'，∠B'A'C=∠BAC=65°，∠A'CB'=∠ACB=90°。
∵点A在A'B'上，∴∠CA'A=∠B'A'C=65°。
在△ACA'中，CA=CA'，∴∠CAA'=∠CA'A=65°。
∴∠ACA'=180°-∠CAA'-∠CA'A=180°-65°-65°=50°，即旋转角度为50°。
50°

6. 如图，方格纸上的直线 $ m $ 与直线 $ n $ 交于点 $ O $，对 $ △ ABC $ 分别做下列运动：
① 先以点 $ A $ 为旋转中心按顺时针方向旋转 $ 90^{\circ} $，再向右平移 $ 6 $ 格、向下平移 $ 3 $ 格；
② 先以点 $ B $ 为旋转中心按逆时针方向旋转 $ 90^{\circ} $，再向下平移 $ 3 $ 格，然后沿直线 $ n $ 翻折；
③ 先以点 $ O $ 为旋转中心按顺时针方向旋转 $ 90^{\circ} $，再向下平移 $ 4 $ 格、向右平移 $ 2 $ 格。
其中，能将 $ △ ABC $ 变换成 $ △ DEF $ 的是()。


A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

B

变换①：设△ABC顶点坐标为A(-3,3)、B(-2,1)、C(-1,3)。以A为中心顺时针旋转90°，根据旋转性质，B、C对应点坐标变换后，再向右平移6格、向下平移3格，最终得到的顶点坐标与△DEF重合。
变换②：以B为中心逆时针旋转90°后，经平移和沿y轴翻折，得到的图形与△DEF顶点位置不符，故不成立。
变换③：以O为中心顺时针旋转90°，再向下平移4格、向右平移2格，根据旋转和平移性质，变换后的顶点坐标与△DEF完全一致。
综上，①③能将△ABC变换成△DEF。

7. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = \sqrt{2} $，将 $ △ ABC $ 绕点 $ B $ 按逆时针方向旋转 $ 45^{\circ} $ 后得到 $ △ A_1BC_1 $，则阴影部分的面积为。

∵将△ABC绕点B逆时针旋转45°得到△A₁BC₁，
∴BA=BA₁=√2，∠ABA₁=45°（旋转性质：对应点到旋转中心距离相等，旋转角相等）。
阴影部分面积为△ABA₁的面积，
∴S阴影=S△ABA₁=(1/2)·BA·BA₁·sin∠ABA₁
=(1/2)×√2×√2×sin45°
=(1/2)×2×(√2/2)
=√2/2。
√2/2

8. 【综合与实践】将两块不同的三角尺按如图①所示的方式摆放，$ AC $ 边与 $ A'C $ 边重合，$ ∠ BA'C = 45^{\circ} $，$ ∠ DAC = 30^{\circ} $。如图②，保持三角尺 $ ACD $ 不动，将三角尺 $ A'BC $ 绕点 $ C $ 按逆时针方向旋转 $ 90^{\circ} $ 后停止。在此旋转过程中，当 $ A'B $ 与三角尺 $ ACD $ 的一条边恰好平行时，$ ∠ ACA' = $。

情况1：A'B与AC边平行
AC为竖直线（x=0），A'B需为竖直线，即A'与B的横坐标相等。
旋转角为θ，A'坐标：$(-a\sinθ, a\cosθ)$，B坐标：$(-a\cosθ, -a\sinθ)$。
令横坐标相等：$-a\sinθ = -a\cosθ ⇒ \tanθ=1 ⇒ θ=45°$。
情况2：A'B与CD边平行
CD为水平线（y=0），A'B斜率需为0，即纵坐标差为0。
$y_B - y_A' = -a(\sinθ + \cosθ) = 0 ⇒ \sinθ + \cosθ=0 ⇒ \tanθ=-1$，θ在$0°∼90°$内无解。
情况3：A'B与AD边平行
AD斜率为$-\frac{1}{\sqrt{3}}$，A'B斜率$\frac{\sinθ + \cosθ}{\cosθ - \sinθ}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$。
解得$\tanθ=-(2+\sqrt{3})$，θ为负角，不在$0°∼90°$范围内，无解。
结论：仅当$θ=45°$时满足条件。
45°