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一、选择题(请将唯一正确答案的代号填入括号内)
1. 若 $ x^{2}=3 $，则 $ x $ 的值是().
A. $ \sqrt{3} $
B. $ -\sqrt{3} $
C. $ \pm\sqrt{3} $
D. $ \sqrt{3} $ 或 $ 0 $
1. 若 $ x^{2}=3 $，则 $ x $ 的值是().
A. $ \sqrt{3} $
B. $ -\sqrt{3} $
C. $ \pm\sqrt{3} $
D. $ \sqrt{3} $ 或 $ 0 $
答案
解：
因为 $ x^2 = 3 $，
根据平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数，
所以 $ x = \pm\sqrt{3} $。
故选C。
因为 $ x^2 = 3 $，
根据平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数，
所以 $ x = \pm\sqrt{3} $。
故选C。
2. 式子 $ \sqrt{x - 2} $ 在实数范围内有意义，则 $ x $ 的取值范围是().
A.$ x ≥ 0 $
B.$ x ≤ 2 $
C.$ x ≥ - 2 $
D.$ x ≥ 2 $
A.$ x ≥ 0 $
B.$ x ≤ 2 $
C.$ x ≥ - 2 $
D.$ x ≥ 2 $
答案
D
解析
根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，因此列不等式 $ x - 2 ≥ 0 $，解得 $ x ≥ 2 $。
3. 下列根式，能与 $ \sqrt{2} $ 合并的是().
A.$ \sqrt{24} $
B.$ \sqrt{12} $
C.$ \sqrt{\dfrac{3}{2}} $
D.$ \sqrt{18} $
A.$ \sqrt{24} $
B.$ \sqrt{12} $
C.$ \sqrt{\dfrac{3}{2}} $
D.$ \sqrt{18} $
答案
D
解析
要判断能与$\sqrt{2}$合并的根式，需先将各选项化为最简二次根式，再看被开方数是否与$\sqrt{2}$的被开方数（2）相同：
A.$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，被开方数为6，不能合并；
B.$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数为3，不能合并；
C.$\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$，被开方数为6，不能合并；
D.$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数为2，能与$\sqrt{2}$合并。
综上，能与$\sqrt{2}$合并的是选项D。
A.$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，被开方数为6，不能合并；
B.$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数为3，不能合并；
C.$\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$，被开方数为6，不能合并；
D.$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数为2，能与$\sqrt{2}$合并。
综上，能与$\sqrt{2}$合并的是选项D。
4. 下列运算，一定正确的是().
A.$ \sqrt{(-7)^{2}}=-7 $
B.$ \sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5} $
C.$ 5\sqrt{3}-2\sqrt{3}=3 $
D.$ \sqrt{2}×3\sqrt{2}=6 $
A.$ \sqrt{(-7)^{2}}=-7 $
B.$ \sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5} $
C.$ 5\sqrt{3}-2\sqrt{3}=3 $
D.$ \sqrt{2}×3\sqrt{2}=6 $
答案
D
解析
分别对各选项分析：
选项A：$\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7$，故A错误；
选项B：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并，故B错误；
选项C：$5\sqrt{3}-2\sqrt{3}=(5-2)\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，故C错误；
选项D：$\sqrt{2}×3\sqrt{2}=3×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=3×2=6$，故D正确。
选项A：$\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7$，故A错误；
选项B：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并，故B错误；
选项C：$5\sqrt{3}-2\sqrt{3}=(5-2)\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，故C错误；
选项D：$\sqrt{2}×3\sqrt{2}=3×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=3×2=6$，故D正确。
5. 实数 $ a $，$ b $ 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 $ |a|+\sqrt{(a - b)^{2}} $ 的结果是().
A.$ - 2a + b $
B.$ 2a - b $
C.$ - b $
D.$ b $
A.$ - 2a + b $
B.$ 2a - b $
C.$ - b $
D.$ b $
答案
A
解析
根据数轴可知，$a＜0$，$b＞0$，因此$a - b ＜ 0$。
根据绝对值和二次根式的性质：
$|a|=-a$，$\sqrt{(a - b)^2}=|a - b|=-(a - b)=b - a$。
则$|a|+\sqrt{(a - b)^2}=-a+(b - a)=-2a + b$。
根据绝对值和二次根式的性质：
$|a|=-a$，$\sqrt{(a - b)^2}=|a - b|=-(a - b)=b - a$。
则$|a|+\sqrt{(a - b)^2}=-a+(b - a)=-2a + b$。
6. 若 $ \sqrt{x + 6}+\sqrt{2 + y}=0 $，则 $ \sqrt{xy} $ 的值是().
A.$ 2\sqrt{2} $
B.$ 2\sqrt{3} $
C.$ - 2\sqrt{2} $
D.$ - 2\sqrt{3} $
A.$ 2\sqrt{2} $
B.$ 2\sqrt{3} $
C.$ - 2\sqrt{2} $
D.$ - 2\sqrt{3} $
答案
B
解析
根据二次根式的非负性，$\sqrt{x + 6} ≥ 0$，$\sqrt{2 + y} ≥ 0$。
因为$\sqrt{x + 6}+\sqrt{2 + y}=0$，所以$\begin{cases}x + 6 = 0 \\ 2 + y = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -6 \\ y = -2\end{cases}$。
则$xy = (-6) × (-2) = 12$，$\sqrt{xy} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
因为$\sqrt{x + 6}+\sqrt{2 + y}=0$，所以$\begin{cases}x + 6 = 0 \\ 2 + y = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -6 \\ y = -2\end{cases}$。
则$xy = (-6) × (-2) = 12$，$\sqrt{xy} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
7. 若 $ \sqrt{12 - n} $ 是整数，则满足条件的正整数 $ n $ 共有().
A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 4 $ 个
A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 4 $ 个
答案
D
解析
因为$\sqrt{12 - n}$是整数，所以$12 - n$是非负的完全平方数，且$n$为正整数。
设$\sqrt{12 - n}=k$（$k$为非负整数），则$12 - n = k^2$，即$n=12 - k^2$。
由于$n$是正整数，故$12 - k^2 ＞ 0$，即$k^2 ＜ 12$。
满足条件的非负整数$k$为0、1、2、3：
当$k=0$时，$n=12-0^2=12$；
当$k=1$时，$n=12-1^2=11$；
当$k=2$时，$n=12-2^2=8$；
当$k=3$时，$n=12-3^2=3$。
因此满足条件的正整数$n$共有4个。
设$\sqrt{12 - n}=k$（$k$为非负整数），则$12 - n = k^2$，即$n=12 - k^2$。
由于$n$是正整数，故$12 - k^2 ＞ 0$，即$k^2 ＜ 12$。
满足条件的非负整数$k$为0、1、2、3：
当$k=0$时，$n=12-0^2=12$；
当$k=1$时，$n=12-1^2=11$；
当$k=2$时，$n=12-2^2=8$；
当$k=3$时，$n=12-3^2=3$。
因此满足条件的正整数$n$共有4个。
8. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为 $ 2 $ 和 $ 8 $，则图中阴影部分的面积是().
A.$ \sqrt{2} $
B.$ 2 $
C.$ 2\sqrt{2} $
D.$ 6 $
A.$ \sqrt{2} $
B.$ 2 $
C.$ 2\sqrt{2} $
D.$ 6 $
答案
B
解析
1. 求两个正方形的边长：面积为8的正方形边长为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，面积为2的正方形边长为$\sqrt{2}$。
2. 阴影部分可拼接为长$\sqrt{2}$、宽$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$的长方形。
3. 计算阴影面积：$\sqrt{2} × \sqrt{2}=2$。
2. 阴影部分可拼接为长$\sqrt{2}$、宽$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$的长方形。
3. 计算阴影面积：$\sqrt{2} × \sqrt{2}=2$。
9. 如图，每个小正方形的边长为 $ 1 $，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是().
A.$ \sqrt{3} $
B.$ \sqrt{5} $
C.$ 2 $
D.$ \sqrt{6} $
A.$ \sqrt{3} $
B.$ \sqrt{5} $
C.$ 2 $
D.$ \sqrt{6} $
答案
D
解析
先计算阴影部分的面积：将阴影分为长2、宽1的长方形和上底1、下底3、高2的梯形。长方形面积为$1×2=2$，梯形面积为$\frac{(1+3)×2}{2}=4$，总面积为$2+4=6$。设新正方形边长为$a$，由正方形面积公式得$a^2=6$，解得$a=\sqrt{6}$。
