8. (1)已知$x = \dfrac{2}{\sqrt{3} - 1}$，求$x^{2} - x + 1$的值.
(2)已知$a^{2} - \sqrt{10}a + 1 = 0$，求$a - \dfrac{1}{a}$的值.

(1)
解：
先化简$x$：
$x = \dfrac{2}{\sqrt{3} - 1} = \dfrac{2(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \dfrac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \sqrt{3} + 1$
将$x = \sqrt{3} + 1$代入$x^2 - x + 1$：
$x^2 = (\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$
$x^2 - x + 1 = (4 + 2\sqrt{3}) - (\sqrt{3} + 1) + 1 = 4 + \sqrt{3}$
(2)
解：
由$a^2 - \sqrt{10}a + 1 = 0$可知$a ≠ 0$，方程两边同时除以$a$得：
$a - \sqrt{10} + \dfrac{1}{a} = 0$，即$a + \dfrac{1}{a} = \sqrt{10}$
对$(a - \dfrac{1}{a})^2$展开：
$(a - \dfrac{1}{a})^2 = a^2 - 2 + \dfrac{1}{a^2} = (a + \dfrac{1}{a})^2 - 4$
将$a + \dfrac{1}{a} = \sqrt{10}$代入得：
$(a - \dfrac{1}{a})^2 = (\sqrt{10})^2 - 4 = 6$
所以$a - \dfrac{1}{a} = \pm \sqrt{6}$

9. [阅读材料]如果有两个正数$a$，$b$，即$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，则有下面的不等式：$\dfrac{a + b}{2} ≥ \sqrt{ab}$，当且仅当$a = b$时取到等号.我们把$\dfrac{a + b}{2}$叫作正数$a$，$b$的算术平均数，把$\sqrt{ab}$叫作正数$a$，$b$的几何平均数，于是上述不等式可表述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具.
[实例剖析]已知$x ＞ 0$，求式子$x + \dfrac{4}{x}$的最小值.
解：令$a = x$，$b = \dfrac{4}{x}$，则由$a + b ≥ 2\sqrt{ab}$，得$x + \dfrac{4}{x} ≥ 2\sqrt{x · \dfrac{4}{x}}$，当且仅当$x = \dfrac{4}{x}$，即$x = 2$时，式子有最小值，最小值为$4$.
[学以致用]
(1)已知$x ＞ 0$，则当$x =$时，式子$x + \dfrac{1}{x}$取到最小值，最小值为.
(2)用篱笆围一个面积为$100\ \mathrm{m}^{2}$的长方形花园，则这个长方形的长、宽分别为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆多长？

解：(1)令$a=x$，$b=\dfrac{1}{x}$（$x＞0$），
由$\dfrac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$得$x+\dfrac{1}{x}≥2\sqrt{x·\dfrac{1}{x}}=2$，
当且仅当$x=\dfrac{1}{x}$，即$x=1$（$x＞0$）时取等号，
故当$x=1$时，式子$x+\dfrac{1}{x}$取到最小值，最小值为2。
(2)设长方形花园的长为$x\ \mathrm{m}$，宽为$y\ \mathrm{m}$（$x＞0$，$y＞0$），
由题意得$xy=100$，篱笆总长为$2(x+y)$。
根据$\dfrac{x+y}{2}≥\sqrt{xy}$，得$x+y≥2\sqrt{xy}=2\sqrt{100}=20$，
当且仅当$x=y$时取等号，结合$xy=100$，解得$x=y=10$。
此时篱笆最短长度为$2×20=40\ \mathrm{m}$。
答：当长方形的长、宽均为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆长40 m。