1. 下列式子中，是最简二次根式的是().

A.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{0.5}$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

D

根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐一分析选项：
A. $\sqrt{\dfrac{1}{3}}$被开方数含分母，不是最简二次根式；
B. $\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
C. $\sqrt{0.5}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$，被开方数含分母，不是最简二次根式；
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$的被开方数2不含分母，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式。

2. 能使式子$\sqrt{\dfrac{x - 1}{x - 3}} = \dfrac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 3}}$成立的$x$的取值范围是().

A.$x ≠ 3$
B.$x ＞ 3$
C.$x ≥ 3$
D.$x ≥ 1$

B

要使等式$\sqrt{\dfrac{x - 1}{x - 3}} = \dfrac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 3}}$成立，需满足：
1. 分子根号内的被开方数非负：$x - 1 ≥ 0$，解得$x ≥ 1$；
2. 分母根号内的被开方数为正（分母不能为0）：$x - 3 ＞ 0$，解得$x ＞ 3$；
综合两个条件，取交集得$x ＞ 3$。

3. 下列计算正确的是().

A.$\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$
B.$2 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{5}$
D.$\sqrt{6} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{2}$

D

逐一分析选项：
A. $\sqrt{5}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接相减，故A错误；
B. 2与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能合并，故B错误；
C. 根据二次根式乘法法则，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}≠\sqrt{5}$，故C错误；
D. 根据二次根式除法法则，$\sqrt{6}÷\sqrt{3}=\sqrt{6÷3}=\sqrt{2}$，故D正确。

4. 正整数$a$，$b$满足$a ＞ b$，且$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$是可以合并的二次根式，若$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{75}$，$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{27}$，则$\sqrt{\dfrac{b}{a}}$的值为.

$\dfrac{1}{4}$

1. 化简二次根式：$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，得到方程组：
$\begin{cases}\sqrt{a} + \sqrt{b} = 5\sqrt{3} \\ \sqrt{a} - \sqrt{b} = 3\sqrt{3}\end{cases}$
2. 两式相加：$2\sqrt{a}=8\sqrt{3}$，解得$\sqrt{a}=4\sqrt{3}$，则$a=(4\sqrt{3})^2=48$；
3. 两式相减：$2\sqrt{b}=2\sqrt{3}$，解得$\sqrt{b}=\sqrt{3}$，则$b=(\sqrt{3})^2=3$；
4. 计算$\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\sqrt{\dfrac{3}{48}}=\sqrt{\dfrac{1}{16}}=\dfrac{1}{4}$。

5. 对于任意正整数$m$，$n$定义运算※为$\begin{cases}m※n = \sqrt{m} - \sqrt{n}(m ＞ n)，\\m※n = \sqrt{m} + \sqrt{n}(m ≤ n)，\end{cases}$计算$(3※2) × (8※12)$的结果为 ______ .

2

1. 计算$3※2$：因为$3＞2$，根据定义得$3※2=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
2. 计算$8※12$：因为$8≤12$，根据定义得$8※12=\sqrt{8}+\sqrt{12}=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}=2(\sqrt{2}+\sqrt{3})$；
3. 计算乘积：$(\sqrt{3}-\sqrt{2})×2(\sqrt{2}+\sqrt{3})=2×[(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2]=2×(3-2)=2$。

6. 计算.
(1) $\sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{2}$.
(2) $6\sqrt{2} × \sqrt{3} - 3\sqrt{30} ÷ \sqrt{5}$.

解：
(1) $\sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{2}$
$= 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + \sqrt{2}$
$=(3 - 2 + 1)\sqrt{2}$
$=2\sqrt{2}$
(2) $6\sqrt{2} × \sqrt{3} - 3\sqrt{30} ÷ \sqrt{5}$
$=6\sqrt{6} - 3\sqrt{6}$
$=(6 - 3)\sqrt{6}$
$=3\sqrt{6}$

7. 先化简，再求值：$(\dfrac{2}{3}x\sqrt{9x} + y^{2}\sqrt{\dfrac{x}{y^{3}}}) - (x^{2}\sqrt{\dfrac{1}{x}} - 5x\sqrt{\dfrac{y}{x}})$，其中$x = 4$，$y = \dfrac{1}{4}$.

解：
原式$=(\dfrac{2}{3}x · 3\sqrt{x} + y^{2} · \dfrac{\sqrt{x}}{y\sqrt{y}}) - (x^{2} · \dfrac{1}{\sqrt{x}} - 5x · \dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}})$
$=(2x\sqrt{x} + \sqrt{xy}) - (x\sqrt{x} - 5\sqrt{xy})$
$=2x\sqrt{x} + \sqrt{xy} - x\sqrt{x} + 5\sqrt{xy}$
$=x\sqrt{x} + 6\sqrt{xy}$
当$x=4$，$y=\dfrac{1}{4}$时，
$x\sqrt{x}=4×\sqrt{4}=4×2=8$，
$6\sqrt{xy}=6×\sqrt{4×\dfrac{1}{4}}=6×\sqrt{1}=6×1=6$，
原式$=8+6=14$