13. 如图，直线 $ y = \frac{1}{2}x + 2 $ 分别交 $ x $ 轴、$ y $ 轴于 $ A,C $ 两点，$ B $ 为 $ x $ 轴正半轴上一点，且 $ S_{△ ABC} = 6 $。
(1)求点 $ B $ 的坐标；
(2)将直线 $ AC $ 平移，平移后的直线经过点 $ B $，交 $ y $ 轴于点 $ Q $，求点 $ Q $ 的坐标。

(1) $ B(2, 0) $；
(2) $ Q(0, -1) $。

(1) 由直线方程 $ y = \frac{1}{2}x + 2 $，当 $ x = 0 $ 时， $ y = 2 $，所以 $ C(0, 2) $。
当 $ y = 0 $ 时， $ \frac{1}{2}x + 2 = 0 $，解得 $ x = -4 $，所以 $ A(-4, 0) $。
设 $ B(a, 0) $，则 $ AB = a - (-4) = a + 4 $。
三角形面积公式：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × OC = \frac{1}{2} × (a + 4) × 2 = 6$，
解得：
$a + 4 = 6 \implies a = 2$，
所以 $ B(2, 0) $。
(2) 设平移后的直线方程为 $ y = \frac{1}{2}x + b $。
将 $ B(2, 0) $ 代入方程：
$0 = \frac{1}{2} × 2 + b \implies b = -1$，
所以平移后的直线方程为 $ y = \frac{1}{2}x - 1 $。
当 $ x = 0 $ 时， $ y = -1 $，所以 $ Q(0, -1) $。
最终

如图，一次函数 $ y = 2x - 4 $ 的图象与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A,B $，点 $ P $ 在该函数图象上，点 $ P $ 到 $ x $ 轴、$ y $ 轴的距离分别为 $ d_1,d_2 $。
(1)当 $ P $ 为线段 $ AB $ 的中点时，求 $ d_1 + d_2 $ 的值；
(2)直接写出 $ d_1 + d_2 $ 的范围，并求当 $ d_1 + d_2 = 3 $ 时，点 $ P $ 的坐标；
(3)若在线段 $ AB $ 上存在无数个点 $ P $，使 $ d_1 + ad_2 = 4(a $ 为常数)，求 $ a $ 的值。

(1) $ 3 $；(2) $ d_1 + d_2 ≥ 2 $，$ (1, -2) $ 或 $ ( \frac{7}{3}, \frac{2}{3} ) $；(3) $ 2 $。

(1) 对于一次函数 $ y = 2x - 4 $，令 $ y = 0 $ 得 $ x = 2 $，即 $ A(2,0) $；令 $ x = 0 $ 得 $ y = -4 $，即 $ B(0,-4) $。
线段 $ AB $ 中点 $ P $ 的坐标为 $ ( \frac{2+0}{2}, \frac{0+(-4)}{2} ) = (1,-2) $。
$ d_1 = |-2| = 2 $，$ d_2 = |1| = 1 $，故 $ d_1 + d_2 = 2 + 1 = 3 $。
(2) 设 $ P(x, 2x - 4) $，则 $ d_1 = |2x - 4| $，$ d_2 = |x| $，$ d_1 + d_2 = |x| + |2x - 4| $。
分情况讨论：
当 $ x ＜ 0 $ 时，$ d_1 + d_2 = -x + (4 - 2x) = -3x + 4 ＞ 4 $；
当 $ 0 ≤ x ≤ 2 $ 时，$ d_1 + d_2 = x + (4 - 2x) = 4 - x \in [2, 4] $；
当 $ x ＞ 2 $ 时，$ d_1 + d_2 = x + (2x - 4) = 3x - 4 ＞ 2 $。
综上，$ d_1 + d_2 ≥ 2 $。
当 $ d_1 + d_2 = 3 $ 时：
$ 0 ≤ x ≤ 2 $ 时，$ 4 - x = 3 ⇒ x = 1 $，$ y = 2×1 - 4 = -2 $，即 $ (1, -2) $；
$ x ＞ 2 $ 时，$ 3x - 4 = 3 ⇒ x = \frac{7}{3} $，$ y = 2×\frac{7}{3} - 4 = \frac{2}{3} $，即 $ ( \frac{7}{3}, \frac{2}{3} ) $。
故点 $ P $ 的坐标为 $ (1, -2) $ 或 $ ( \frac{7}{3}, \frac{2}{3} ) $。
(3) 线段 $ AB $ 上的点 $ P(x, 2x - 4) $ 满足 $ 0 ≤ x ≤ 2 $，此时 $ d_1 = 4 - 2x $，$ d_2 = x $。
则 $ d_1 + ad_2 = (4 - 2x) + ax = 4 + (a - 2)x = 4 $，即 $ (a - 2)x = 0 $。
要使线段 $ AB $ 上存在无数个点 $ P $，需 $ a - 2 = 0 ⇒ a = 2 $。