24. 人们把$\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$这个数称为黄金分割数，著名数学家华罗庚开创的优选法中的$0.618$法就应用了黄金分割数。设$a = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$，$b = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}$，记$S_{1} = \dfrac{1}{1 + a} + \dfrac{1}{1 + b}$，$S_{2} = \dfrac{1}{1 + a^{2}} + \dfrac{1}{1 + b^{2}}$，$···$，$S_{10} = \dfrac{1}{1 + a^{10}} + \dfrac{1}{1 + b^{10}}$。
(1)求$S_{1}$的值；
(2)请直接写出$S_{1} + S_{2} + ··· + S_{10}$的值。

(1) $1$；(2) $10$。

(1)
因为$a = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$，$b = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}$，
所以$a + b = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} + \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} = \sqrt{5}$，$ab = (\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2})(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}) = \dfrac{5 - 1}{4} = 1$。
$S_{1} = \dfrac{1}{1 + a} + \dfrac{1}{1 + b} = \dfrac{(1 + b) + (1 + a)}{(1 + a)(1 + b)} = \dfrac{2 + a + b}{1 + a + b + ab}$。
将$a + b = \sqrt{5}$，$ab = 1$代入，得：
分子$= 2 + \sqrt{5}$，分母$= 1 + \sqrt{5} + 1 = 2 + \sqrt{5}$，
所以$S_{1} = \dfrac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}} = 1$。
(2)
由(1)知$ab = 1$，则对任意正整数$n$，$a^{n}b^{n} = (ab)^{n} = 1$。
$S_{n} = \dfrac{1}{1 + a^{n}} + \dfrac{1}{1 + b^{n}} = \dfrac{(1 + b^{n}) + (1 + a^{n})}{(1 + a^{n})(1 + b^{n})} = \dfrac{2 + a^{n} + b^{n}}{1 + a^{n} + b^{n} + a^{n}b^{n}} = \dfrac{2 + a^{n} + b^{n}}{2 + a^{n} + b^{n}} = 1$。
故$S_{1} + S_{2} + ··· + S_{10} = 1 + 1 + ··· + 1 = 10$（共10个1相加）。