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1. 下列式子: ①$-2 ＜ 0$; ②$2x + 3y ＜ 0$;③$x = 3$;④$x + y$中,是不等式的有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
答案
B
解析
根据不等式的定义：用不等号（＜，＞，≤，≥，≠）连接的式子叫做不等式。①$-2＜0$是用“＜”连接的不等式；②$2x + 3y＜0$是用“＜”连接的不等式；③$x = 3$是等式；④$x + y$是代数式。所以不等式有①②，共2个。
2. 若$m ＞ n$,下列不等式不一定成立的是()
A. $m + 2 ＞ n + 2$
B. $2m ＞ 2n$
C. $\frac{m}{2} ＞ \frac{n}{2}$
D. $m^{2} ＞ n^{2}$
A. $m + 2 ＞ n + 2$
B. $2m ＞ 2n$
C. $\frac{m}{2} ＞ \frac{n}{2}$
D. $m^{2} ＞ n^{2}$
答案
D
解析
根据不等式的基本性质，逐一分析选项：
A. 由$m ＞ n$，根据不等式的基本性质1（加法性质），两边同时加2，得到$m + 2 ＞ n + 2$，所以A选项一定成立。
B. 由$m ＞ n$，根据不等式的基本性质2（乘法性质，当乘数为正数时），两边同时乘2，得到$2m ＞ 2n$，所以B选项一定成立。
C. 由$m ＞ n$，根据不等式的基本性质2（乘法性质，当乘数为正数时，除以一个正数等于乘以其倒数的正数），两边同时除以2，得到$\frac{m}{2} ＞ \frac{n}{2}$，所以C选项一定成立。
D. 对于$m ＞ n$，考虑其平方的情况。特别地，当$0 ＞ m ＞ n$ 时（例如$m = -1, n = -2$），有 $m^2 =1＜ n^2 =4$，所以D选项不一定成立。
综上所述，不一定成立的是D选项。
A. 由$m ＞ n$，根据不等式的基本性质1（加法性质），两边同时加2，得到$m + 2 ＞ n + 2$，所以A选项一定成立。
B. 由$m ＞ n$，根据不等式的基本性质2（乘法性质，当乘数为正数时），两边同时乘2，得到$2m ＞ 2n$，所以B选项一定成立。
C. 由$m ＞ n$，根据不等式的基本性质2（乘法性质，当乘数为正数时，除以一个正数等于乘以其倒数的正数），两边同时除以2，得到$\frac{m}{2} ＞ \frac{n}{2}$，所以C选项一定成立。
D. 对于$m ＞ n$，考虑其平方的情况。特别地，当$0 ＞ m ＞ n$ 时（例如$m = -1, n = -2$），有 $m^2 =1＜ n^2 =4$，所以D选项不一定成立。
综上所述，不一定成立的是D选项。
3. 已知$y = -3x + 4$,当$y ＜ -2$时,$x$的取值范围是()
A. $x ＞ 2$
B. $x ＜ 2$
C. $x ＞ -2$
D. $x ＜ -2$
A. $x ＞ 2$
B. $x ＜ 2$
C. $x ＞ -2$
D. $x ＜ -2$
答案
A
解析
因为$y = -3x + 4$且$y ＜ -2$，所以$-3x + 4 ＜ -2$。移项得$-3x ＜ -2 - 4$，即$-3x ＜ -6$。两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得$x ＞ 2$。
4. 不等式组$\begin{cases}-3(x - 2) ≥ 4 - x,\frac{1 + 2x}{3} ＞ x - 1\end{cases}$的解集是( )
A. $x ≤ 1$
B. $x ＜ 4$
C. $1 ≤ x ＜ 4$
D. 无解
A. $x ≤ 1$
B. $x ＜ 4$
C. $1 ≤ x ＜ 4$
D. 无解
答案
A
解析
解不等式$-3(x - 2) ≥ 4 - x$，得$-3x + 6 ≥ 4 - x$，$-2x ≥ -2$，$x ≤ 1$；解不等式$\frac{1 + 2x}{3} ＞ x - 1$，得$1 + 2x ＞ 3x - 3$，$-x ＞ -4$，$x ＜ 4$。不等式组的解集为$x ≤ 1$。
5. 已知$a - 1 ＞ 0$,则下列结论正确的是()
A. $-1 ＜ -a ＜ a ＜ 1$
B. $-a ＜ -1 ＜ 1 ＜ a$
C. $-a ＜ -1 ＜ a ＜ 1$
D. $-1 ＜ -a ＜ 1 ＜ a$
A. $-1 ＜ -a ＜ a ＜ 1$
B. $-a ＜ -1 ＜ 1 ＜ a$
C. $-a ＜ -1 ＜ a ＜ 1$
D. $-1 ＜ -a ＜ 1 ＜ a$
答案
B
解析
由$a-1＞0$，可得$a＞1$。
因为$a ＞ 1$，所以$-a＜-1$（不等式两边同时乘以$-1$，不等号方向改变）。
所以$-a ＜ -1 ＜ 1 ＜ a$。
因为$a ＞ 1$，所以$-a＜-1$（不等式两边同时乘以$-1$，不等号方向改变）。
所以$-a ＜ -1 ＜ 1 ＜ a$。
6. 对于不等式组$\begin{cases}\frac{1}{3}x - 6 ≤ 1 - \frac{5}{3}x,\\3(x - 1) ＜ 5x - 1\end{cases}$下列说法正确的是( )
A. 此不等式组的正整数解为1,2,3
B. 此不等式组的解集为$-1 ＜ x ≤ \frac{7}{6}$
C. 此不等式组有5个整数解
D. 此不等式组无解
A. 此不等式组的正整数解为1,2,3
B. 此不等式组的解集为$-1 ＜ x ≤ \frac{7}{6}$
C. 此不等式组有5个整数解
D. 此不等式组无解
答案
A
解析
解第一个不等式：$\frac{1}{3}x - 6 ≤ 1 - \frac{5}{3}x$，移项得$\frac{1}{3}x + \frac{5}{3}x ≤ 1 + 6$，合并同类项得$2x ≤ 7$，解得$x ≤ \frac{7}{2}$；解第二个不等式：$3(x - 1) ＜ 5x - 1$，去括号得$3x - 3 ＜ 5x - 1$，移项得$-2x ＜ 2$，解得$x ＞ -1$。不等式组的解集为$-1 ＜ x ≤ \frac{7}{2}$，整数解为0,1,2,3，正整数解为1,2,3。
7. 如图所示,运行程序从“输入整数$x$”到“结果是否大于21”为一次程序操作,若输入整数$x$后程序操作仅进行了2次就停止,则$x$的值是()
A. 5
B. 6
C. 10
D. 11
A. 5
B. 6
C. 10
D. 11
答案
B
解析
设输入整数为$x$。一次程序操作：$3x - 6$，判断是否大于21。
因操作仅进行2次停止，故：
第一次操作结果不大于21：$3x - 6 ≤ 21$，解得$x ≤ 9$；
第二次操作（以第一次结果为输入）结果大于21：$3(3x - 6) - 6 ＞ 21$，化简得$9x - 24 ＞ 21$，解得$x ＞ 5$。
综上，$5 ＜ x ≤ 9$，整数$x$为6、7、8、9，选项中只有6符合。
因操作仅进行2次停止，故：
第一次操作结果不大于21：$3x - 6 ≤ 21$，解得$x ≤ 9$；
第二次操作（以第一次结果为输入）结果大于21：$3(3x - 6) - 6 ＞ 21$，化简得$9x - 24 ＞ 21$，解得$x ＞ 5$。
综上，$5 ＜ x ≤ 9$，整数$x$为6、7、8、9，选项中只有6符合。
8. 若$x = -3$是关于$x$的方程$x = m + 1$的解,则关于$x$的不等式$2(1 - 2x) ≥ -6 + m$的最大整数解为()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案
C
解析
因为$x = -3$是方程$x = m + 1$的解，所以$-3 = m + 1$，解得$m = -4$。将$m = -4$代入不等式$2(1 - 2x) ≥ -6 + m$，得$2(1 - 2x) ≥ -6 + (-4)$，即$2(1 - 2x) ≥ -10$。两边同时除以2，得$1 - 2x ≥ -5$，移项得$-2x ≥ -6$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x ≤ 3$。所以该不等式的最大整数解为3。
9. 既满足$2x + 2 ＞ 0$,又满足$\frac{x}{3} ＜ 1$的整数$x$可以为(写出一个即可).
答案
$1$（答案不唯一）
解析
首先解不等式$2x + 2 ＞ 0$，移项可得$2x＞ -2$，两边同时除以$2$，解得$x ＞ - 1$；接着解不等式$\frac{x}{3} ＜ 1$，两边同时乘以$3$，解得$x ＜ 3$。所以$x$的取值范围是$-1＜ x＜ 3$，在此范围内的整数有$0$，$1$，$2$，从中任选一个即可。
10. 若关于$x$的不等式$x - m ＜ 0$有三个正整数解,则$m$的取值范围是.
答案
$3＜m≤4$
解析
解不等式$x - m ＜ 0$，得$x＜m$。因为不等式有三个正整数解，所以这三个正整数解为1，2，3。则$3＜m≤4$。
11. 若不等式组$\begin{cases}\frac{x - 1}{2} ≥ \frac{x - 2}{3},\\2x - m ≥ x\end{cases}$的解集为$x ≥ m$,则$m$的取值范围是 ______ .
答案
$m≥ - 1$（填具体范围对应的选项字符（如果有选项的话，按实际情况，本题按要求直接填条件结果对应的规范形式应为$m≥ - 1$对应的选项））。
解析
先解第一个不等式$\frac{x - 1}{2}≥\frac{x - 2}{3}$，
给不等式两边同时乘以$6$去分母得：$3(x - 1)≥2(x - 2)$，
去括号得：$3x-3≥2x - 4$，
移项可得：$3x-2x≥-4 + 3$，
解得：$x≥ - 1$。
再解第二个不等式$2x - m≥ x$，
移项得：$2x - x≥ m$，
解得：$x≥ m$。
因为不等式组的解集为$x≥ m$，根据同大取大的原则，所以$m≥ - 1$。
给不等式两边同时乘以$6$去分母得：$3(x - 1)≥2(x - 2)$，
去括号得：$3x-3≥2x - 4$，
移项可得：$3x-2x≥-4 + 3$，
解得：$x≥ - 1$。
再解第二个不等式$2x - m≥ x$，
移项得：$2x - x≥ m$，
解得：$x≥ m$。
因为不等式组的解集为$x≥ m$，根据同大取大的原则，所以$m≥ - 1$。
12. 对于三个数$a,b,c$,用$M\{a,b,c\}$表示这三个数的中位数,用$\max\{a,b,c\}$表示这三个数中最大的数. 例如:$M\{-2,-1,0\} = -1$,$\max\{-2,-1,0\} = 0$,$\max\{-2,-1,a\} = \begin{cases}a(a ≥ -1),\\-1(a ＜ -1).\end{cases}$根据以上材料,解决下列问题:若$\max\{3,5 - 3x,2x - 6\} = M\{1,5,3\}$,则$x$的取值范围是 ______ .
答案
$\frac{2}{3} ≤ x ≤ \frac{9}{2}$
解析
先计算$M\{1,5,3\}$，将1,5,3排序为1,3,5，中位数为3，故$\max\{3,5 - 3x,2x - 6\} = 3$。要使三个数的最大值为3，则$5 - 3x ≤ 3$且$2x - 6 ≤ 3$。解$5 - 3x ≤ 3$得$x ≥ \frac{2}{3}$；解$2x - 6 ≤ 3$得$x ≤ \frac{9}{2}$。综上，$x$的取值范围是$\frac{2}{3} ≤ x ≤ \frac{9}{2}$。
