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例 1 对于函数 $ y = k^{2}x $($ k $ 是常数，$ k ≠ 0 $)的图象，下列说法不正确的是()
A.图象是一条直线
B.过点 $ (\frac{1}{k},k) $
C.经过第一、第三象限或第二、第四象限
D.$ y $ 随着 $ x $ 的增大而增大
【思路导析】$ k ≠ 0 $ 时，$ k^{2} ＞ 0 $，故函数 $ y = k^{2}x $($ k $ 是常数，$ k ≠ 0 $)的图象经过第一、第三象限。
【请你解答】。
A.图象是一条直线
B.过点 $ (\frac{1}{k},k) $
C.经过第一、第三象限或第二、第四象限
D.$ y $ 随着 $ x $ 的增大而增大
【思路导析】$ k ≠ 0 $ 时，$ k^{2} ＞ 0 $，故函数 $ y = k^{2}x $($ k $ 是常数，$ k ≠ 0 $)的图象经过第一、第三象限。
【请你解答】。
答案
C
解析
由于 $k ≠ 0$，$k^{2} ＞ 0$，所以函数 $y = k^{2}x$ 的图象是一条经过原点的直线，故 A 选项正确；
将$x = \frac{1}{k}$代入$y = k^{2}x$中，可得：$y = k^{2} × \frac{1}{k} = k$，
因此，函数图象过点$(\frac{1}{k},k)$，故 B 选项正确；
由于斜率 $k^{2} ＞ 0$，函数图象只会经过第一、三象限，不会经过第二、四象限，故 C 选项错误；
由于斜率 $k^{2} ＞ 0$，函数是增函数，$y$ 随着 $x$ 的增大而增大，故 D 选项正确。
将$x = \frac{1}{k}$代入$y = k^{2}x$中，可得：$y = k^{2} × \frac{1}{k} = k$，
因此，函数图象过点$(\frac{1}{k},k)$，故 B 选项正确；
由于斜率 $k^{2} ＞ 0$，函数图象只会经过第一、三象限，不会经过第二、四象限，故 C 选项错误；
由于斜率 $k^{2} ＞ 0$，函数是增函数，$y$ 随着 $x$ 的增大而增大，故 D 选项正确。
例 2 当 $ x ＞ 0 $ 时，函数 $ y = -2x $ 的图象在()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【思路导析】$ y = -2x $ 的图象在第二、第四象限，当 $ x ＞ 0 $ 时，图象在第四象限。
【请你解答】。
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【思路导析】$ y = -2x $ 的图象在第二、第四象限，当 $ x ＞ 0 $ 时，图象在第四象限。
【请你解答】。
答案
D
解析
正比例函数 $ y = kx $ 的图象性质：当 $ k ＞ 0 $ 时，图象经过第一、三象限；当 $ k ＜ 0 $ 时，图象经过第二、四象限。
对于函数 $ y = -2x $，其中 $ k = -2 ＜ 0 $，所以图象经过第二、四象限。
当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y = -2x ＜ 0 $，所以图象在第四象限。
对于函数 $ y = -2x $，其中 $ k = -2 ＜ 0 $，所以图象经过第二、四象限。
当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y = -2x ＜ 0 $，所以图象在第四象限。
例 3 填空：
(1)直线 $ y = -x $，从左向右，$ y $ 随 $ x $ 的增大而，它是经过第象限的一条直线；
(2)函数 $ y = 5x $ 的图象经过第象限，函数图象从左向右呈趋势，$ y $ 随 $ x $ 的增大而；函数 $ y = -5x $ 的图象经过第象限，函数图象从左向右呈趋势，$ y $ 随 $ x $ 的增大而。
【思路导析】根据正比例函数的性质进行填写。
【请你解答】(1)，；(2)，，，，，。
(1)直线 $ y = -x $，从左向右，$ y $ 随 $ x $ 的增大而，它是经过第象限的一条直线；
(2)函数 $ y = 5x $ 的图象经过第象限，函数图象从左向右呈趋势，$ y $ 随 $ x $ 的增大而；函数 $ y = -5x $ 的图象经过第象限，函数图象从左向右呈趋势，$ y $ 随 $ x $ 的增大而。
【思路导析】根据正比例函数的性质进行填写。
【请你解答】(1)，；(2)，，，，，。
答案
(1)减小；二、四；
(2)一、三；上升；增大；二、四；下降；减小。
(2)一、三；上升；增大；二、四；下降；减小。
解析
(1) 正比例函数 $y = kx$ 的性质：当 $k ＞ 0$ 时，图象经过第一、三象限，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；当 $k ＜ 0$ 时，图象经过第二、四象限，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。
对于 $y = -x$，$k = -1 ＜ 0$，所以从左向右，$y$ 随 $x$ 增大而减小，图象经过第二、四象限。
(2)对于 $y = 5x$，$k = 5 ＞ 0$，所以图象经过第一、三象限，函数图象从左向右呈上升趋势，$y$ 随 $x$ 增大而增大。
对于 $y = -5x$，$k = -5 ＜ 0$，所以图象经过第二、四象限，函数图象从左向右呈下降趋势，$y$ 随 $x$ 增大而减小。
对于 $y = -x$，$k = -1 ＜ 0$，所以从左向右，$y$ 随 $x$ 增大而减小，图象经过第二、四象限。
(2)对于 $y = 5x$，$k = 5 ＞ 0$，所以图象经过第一、三象限，函数图象从左向右呈上升趋势，$y$ 随 $x$ 增大而增大。
对于 $y = -5x$，$k = -5 ＜ 0$，所以图象经过第二、四象限，函数图象从左向右呈下降趋势，$y$ 随 $x$ 增大而减小。
例 4 已知 $ y = (2m - 1)x^{m^{2} - 3} $ 是正比例函数，且 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，求 $ m $ 的值。
【思路导析】$ y = (2m - 1)x^{m^{2} - 3} $ 是正比例函数的条件是 $ m^{2} - 3 = 1 $ 且 $ 2m - 1 ≠ 0 $，要使 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，则还应满足条件 $ 2m - 1 ＜ 0 $，故当 $ \begin{cases} m^{2} - 3 = 1 \\ 2m - 1 ＜ 0 \end{cases} $ 时，$ y = (2m - 1)x^{m^{2} - 3} $ 是正比例函数，且 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。
【请你解答】
【思路导析】$ y = (2m - 1)x^{m^{2} - 3} $ 是正比例函数的条件是 $ m^{2} - 3 = 1 $ 且 $ 2m - 1 ≠ 0 $，要使 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，则还应满足条件 $ 2m - 1 ＜ 0 $，故当 $ \begin{cases} m^{2} - 3 = 1 \\ 2m - 1 ＜ 0 \end{cases} $ 时，$ y = (2m - 1)x^{m^{2} - 3} $ 是正比例函数，且 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。
【请你解答】
答案
$m=-2$
解析
因为$y=(2m - 1)x^{m^{2}-3}$是正比例函数，所以$\begin{cases}m^{2}-3=1\\2m - 1≠0\end{cases}$。
由$m^{2}-3=1$，得$m^{2}=4$，解得$m=\pm2$。
由$2m - 1≠0$，得$m≠\frac{1}{2}$。
又因为$y$随$x$的增大而减小，所以$2m - 1＜0$，即$m＜\frac{1}{2}$。
综上，$m=-2$。
由$m^{2}-3=1$，得$m^{2}=4$，解得$m=\pm2$。
由$2m - 1≠0$，得$m≠\frac{1}{2}$。
又因为$y$随$x$的增大而减小，所以$2m - 1＜0$，即$m＜\frac{1}{2}$。
综上，$m=-2$。
例 5 已知直线 $ y = (2 - 3m)x $ 经过点 $ A(x_{1},y_{1}) $、$ B(x_{2},y_{2}) $，当 $ x_{1} ＜ x_{2} $ 时，有 $ y_{1} ＞ y_{2} $，则 $ m $ 的取值范围是。
【探究点拨】因为当 $ x_{1} ＜ x_{2} $ 时，有 $ y_{1} ＞ y_{2} $，所以 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。故有 $ 2 - 3m ＜ 0 $，所以 $ m ＞ \frac{2}{3} $。
【规范解答】$ m ＞ \frac{2}{3} $。
【探究点拨】因为当 $ x_{1} ＜ x_{2} $ 时，有 $ y_{1} ＞ y_{2} $，所以 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。故有 $ 2 - 3m ＜ 0 $，所以 $ m ＞ \frac{2}{3} $。
【规范解答】$ m ＞ \frac{2}{3} $。
答案
$m＞\frac{2}{3}$
解析
因为直线$y=(2 - 3m)x$经过点$A(x_{1},y_{1})$、$B(x_{2},y_{2})$，当$x_{1}＜x_{2}$时，$y_{1}＞y_{2}$，所以$y$随$x$的增大而减小。对于正比例函数$y=kx$，当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，故$2 - 3m＜0$，解得$m＞\frac{2}{3}$。
