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例1 在引体向上的测试中，6名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12，11。根据组内离差平方和最小的原则，把这6名同学引体向上的个数分为3组，有种分法。
【思路导析】按从小到大排列，在已排序的基础上寻找分组方法。
【请你解答】。
【思路导析】按从小到大排列，在已排序的基础上寻找分组方法。
【请你解答】。
答案
1
解析
将数据从小到大排序：7，9，11，12，13，15。分成3组需2个分隔点，共10种连续分组方式。计算各组内离差平方和总和，其中分组[7,9]，[11,12,13]，[15]的总离差平方和最小（2+2+0=4），仅1种分法。
例2 把数据2，8，10，4，12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是()
A.{2}，{4，8，10，12}
B.{2，4}，{8，10，12}
C.{2，4，8}，{10，12}
D.{2，4，8，10}，{12}
【思路导析】依次求出每个选项中的“组内离差平方和”，据此进行比较即可。
【请你解答】。
A.{2}，{4，8，10，12}
B.{2，4}，{8，10，12}
C.{2，4，8}，{10，12}
D.{2，4，8，10}，{12}
【思路导析】依次求出每个选项中的“组内离差平方和”，据此进行比较即可。
【请你解答】。
答案
B
解析
计算各选项组内离差平方和：
选项A：{2}离差平方和=0；{4,8,10,12}平均数=8.5，离差平方和=(4-8.5)²+(8-8.5)²+(10-8.5)²+(12-8.5)²=20.25+0.25+2.25+12.25=35，总和=0+35=35。
选项B：{2,4}平均数=3，离差平方和=(2-3)²+(4-3)²=1+1=2；{8,10,12}平均数=10，离差平方和=(8-10)²+(10-10)²+(12-10)²=4+0+4=8，总和=2+8=10。
选项C：{2,4,8}平均数=14/3，离差平方和=(2-14/3)²+(4-14/3)²+(8-14/3)²=64/9+4/9+100/9=168/9=56/3≈18.67；{10,12}平均数=11，离差平方和=(10-11)²+(12-11)²=1+1=2，总和≈18.67+2=20.67。
选项D：{2,4,8,10}平均数=6，离差平方和=(2-6)²+(4-6)²+(8-6)²+(10-6)²=16+4+4+16=40；{12}离差平方和=0，总和=40+0=40。
比较得选项B总和最小。
选项A：{2}离差平方和=0；{4,8,10,12}平均数=8.5，离差平方和=(4-8.5)²+(8-8.5)²+(10-8.5)²+(12-8.5)²=20.25+0.25+2.25+12.25=35，总和=0+35=35。
选项B：{2,4}平均数=3，离差平方和=(2-3)²+(4-3)²=1+1=2；{8,10,12}平均数=10，离差平方和=(8-10)²+(10-10)²+(12-10)²=4+0+4=8，总和=2+8=10。
选项C：{2,4,8}平均数=14/3，离差平方和=(2-14/3)²+(4-14/3)²+(8-14/3)²=64/9+4/9+100/9=168/9=56/3≈18.67；{10,12}平均数=11，离差平方和=(10-11)²+(12-11)²=1+1=2，总和≈18.67+2=20.67。
选项D：{2,4,8,10}平均数=6，离差平方和=(2-6)²+(4-6)²+(8-6)²+(10-6)²=16+4+4+16=40；{12}离差平方和=0，总和=40+0=40。
比较得选项B总和最小。
例3 甲、乙、丙、丁四名学生竞赛成绩（单位：分）如下：15，18，15，24，按照“组内离差平方和最小”的方法，将竞赛成绩分成两组。
【探究点拨】将4个数据从小到大排序，并分成两组，再分别计算每种情况的组内离差平方和。
【规范解答】将4个数据从小到大排序：15，15，18，24。把4个数据分成两组，共有3种情况：
因为6 ＜ 18 ＜ 42，所以第三种情况的组内离差平方和最小，所以将竞赛成绩分成的两组是{15，15，18}，{24}。
【探究点拨】将4个数据从小到大排序，并分成两组，再分别计算每种情况的组内离差平方和。
【规范解答】将4个数据从小到大排序：15，15，18，24。把4个数据分成两组，共有3种情况：
因为6 ＜ 18 ＜ 42，所以第三种情况的组内离差平方和最小，所以将竞赛成绩分成的两组是{15，15，18}，{24}。
答案
将 $4$ 个数据从小到大排序为：$15, 15, 18, 24$。
把$ 4$ 个数据分成两组，共有$3$种情况，计算每种情况的组内离差平方和。
第一种间隔：
第一组：$\{15\}, \{15, 18, 24\}$，
第一组离差平方和：$0$，
第二组离差平方和：$(15-18)^2 + (18-18)^2 + (24-18)^2 = 42$，
组内离差平方和：$0 + 42 = 42$。
第二种间隔：
第一组：$\{15, 15\}, \{18, 24\}$，
第一组离差平方和：$(15-15)^2 + (15-15)^2 = 0$，
第二组离差平方和：$(18-21)^2 + (24-21)^2 = 18$，
组内离差平方和：$0 + 18 = 18$。
第三种间隔：
第一组：$\{15, 15, 18\}, \{24\}$，
第一组离差平方和：$(15-16)^2 + (15-16)^2 + (18-16)^2 = 6$，
第二组离差平方和：$0$，
组内离差平方和：$6 + 0 = 6$。
因为 $6 ＜ 18 ＜ 42$，所以第三种情况的组内离差平方和最小。
将竞赛成绩分成的两组是 $\{15, 15, 18\}$ 和 $\{24\}$。
把$ 4$ 个数据分成两组，共有$3$种情况，计算每种情况的组内离差平方和。
第一种间隔：
第一组：$\{15\}, \{15, 18, 24\}$，
第一组离差平方和：$0$，
第二组离差平方和：$(15-18)^2 + (18-18)^2 + (24-18)^2 = 42$，
组内离差平方和：$0 + 42 = 42$。
第二种间隔：
第一组：$\{15, 15\}, \{18, 24\}$，
第一组离差平方和：$(15-15)^2 + (15-15)^2 = 0$，
第二组离差平方和：$(18-21)^2 + (24-21)^2 = 18$，
组内离差平方和：$0 + 18 = 18$。
第三种间隔：
第一组：$\{15, 15, 18\}, \{24\}$，
第一组离差平方和：$(15-16)^2 + (15-16)^2 + (18-16)^2 = 6$，
第二组离差平方和：$0$，
组内离差平方和：$6 + 0 = 6$。
因为 $6 ＜ 18 ＜ 42$，所以第三种情况的组内离差平方和最小。
将竞赛成绩分成的两组是 $\{15, 15, 18\}$ 和 $\{24\}$。
1. 在某校举办的学习强国演讲比赛中，六位评委给小华的评分分别为(单位：分)：8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，则小华此次演讲比赛得分的离差平方和为。
答案
2.5
解析
首先计算平均分：$\bar{x} = \frac{8 + 7.5 + 9.5 + 8.5 + 8.5 + 9}{6} = \frac{51}{6} = 8.5$。然后计算离差平方和：$(8 - 8.5)^2 + (7.5 - 8.5)^2 + (9.5 - 8.5)^2 + (8.5 - 8.5)^2 + (8.5 - 8.5)^2 + (9 - 8.5)^2 = (-0.5)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 + 0.5^2 = 0.25 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0.25 = 2.5$。
2. 把5个数据-1，3，1，5，4分成{-1，1}和{3，4，5}两组，则这种分组情况的组内离差平方和为。
答案
4
解析
第一步，计算第一组{-1，1}的组内离差平方和。先求该组平均数：$(-1 + 1)÷2 = 0$。离差平方和为$(-1 - 0)^2 + (1 - 0)^2 = 1 + 1 = 2$。
第二步，计算第二组{3，4，5}的组内离差平方和。先求该组平均数：$(3 + 4 + 5)÷3 = 4$。离差平方和为$(3 - 4)^2 + (4 - 4)^2 + (5 - 4)^2 = 1 + 0 + 1 = 2$。
第三步，两组离差平方和相加：$2 + 2 = 4$。
第二步，计算第二组{3，4，5}的组内离差平方和。先求该组平均数：$(3 + 4 + 5)÷3 = 4$。离差平方和为$(3 - 4)^2 + (4 - 4)^2 + (5 - 4)^2 = 1 + 0 + 1 = 2$。
第三步，两组离差平方和相加：$2 + 2 = 4$。
