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1. 如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离 $ AC = 3\ \mathrm{m} $，$ \cos ∠ BAC = \dfrac{3}{4} $，则梯子长 $ AB $ 长为
4
$\mathrm{m}$。答案
1. 4
解析
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦的定义可知$\cos∠ BAC=\frac{AC}{AB}$。
已知$AC=3\ \mathrm{m}$，$\cos∠ BAC=\frac{3}{4}$，代入得$\frac{3}{AB}=\frac{3}{4}$，解得$AB=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
4
【知识点】
锐角三角函数的定义
【点评】
本题考查锐角三角函数的实际应用，关键是熟练掌握余弦的定义，将实际问题转化为直角三角形的边角关系问题求解。
【难度系数】
0.8
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦的定义可知$\cos∠ BAC=\frac{AC}{AB}$。
已知$AC=3\ \mathrm{m}$，$\cos∠ BAC=\frac{3}{4}$，代入得$\frac{3}{AB}=\frac{3}{4}$，解得$AB=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
4
【知识点】
锐角三角函数的定义
【点评】
本题考查锐角三角函数的实际应用，关键是熟练掌握余弦的定义，将实际问题转化为直角三角形的边角关系问题求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图，一辆小车沿倾斜角为 $ α $ 的斜坡向上行驶了 $ 13\ \mathrm{m} $，若 $ \cos α = \dfrac{12}{13} $，则小车上升的高度是
5
$\mathrm{m}$。答案
2. 5
解析
【解析】
设小车上升的高度为$ h\ \mathrm{m} $，水平移动的距离为$ x\ \mathrm{m} $。
已知小车沿斜坡行驶的距离为$ 13\ \mathrm{m} $，由$ \cosα = \dfrac{x}{13} = \dfrac{12}{13} $，可得$ x = 12\ \mathrm{m} $。
根据勾股定理，$ h = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{m} $。
【答案】
5
【知识点】
锐角三角函数定义、勾股定理
【点评】
本题考查锐角三角函数与勾股定理的综合应用，需结合余弦的定义先求出水平距离，再利用勾股定理计算小车上升的垂直高度，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
设小车上升的高度为$ h\ \mathrm{m} $，水平移动的距离为$ x\ \mathrm{m} $。
已知小车沿斜坡行驶的距离为$ 13\ \mathrm{m} $，由$ \cosα = \dfrac{x}{13} = \dfrac{12}{13} $，可得$ x = 12\ \mathrm{m} $。
根据勾股定理，$ h = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{m} $。
【答案】
5
【知识点】
锐角三角函数定义、勾股定理
【点评】
本题考查锐角三角函数与勾股定理的综合应用，需结合余弦的定义先求出水平距离，再利用勾股定理计算小车上升的垂直高度，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 小强和小明去测量一座古塔的高度(如图)，他们在离古塔 $ 60\ \mathrm{m} $ 的 $ A $ 处，用测角仪测得塔顶的仰角为 $ 30° $。已知测角仪高 $ AD = 1.5\ \mathrm{m} $，则塔 $ BE $ 的高为
$\frac{40\sqrt{3}+3}{2}$
$\mathrm{m}$。答案
3. $\frac{40\sqrt{3}+3}{2}$
解析
【解析】
过点$A$作$AC ⊥ BE$于点$C$，
则四边形$ACDE$是矩形，
所以$AC = ED = 60\ \mathrm{m}$，$CE = AD = 1.5\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC = 30°$，
由$\tan∠ BAC = \frac{BC}{AC}$，得
$BC = AC · \tan30° = 60 × \frac{\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
因此$BE = BC + CE = 20\sqrt{3} + 1.5 = \frac{40\sqrt{3} + 3}{2}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\frac{40\sqrt{3}+3}{2}$
【知识点】
解直角三角形的应用（仰角问题）、矩形的性质、锐角三角函数的应用
【点评】
本题考查解直角三角形在实际测量中的应用，关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用锐角三角函数求出塔顶到测角仪水平高度的部分，再结合测角仪高度得到塔的总高度，需注意数的形式统一。
【难度系数】
0.7
过点$A$作$AC ⊥ BE$于点$C$，
则四边形$ACDE$是矩形，
所以$AC = ED = 60\ \mathrm{m}$，$CE = AD = 1.5\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC = 30°$，
由$\tan∠ BAC = \frac{BC}{AC}$，得
$BC = AC · \tan30° = 60 × \frac{\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
因此$BE = BC + CE = 20\sqrt{3} + 1.5 = \frac{40\sqrt{3} + 3}{2}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\frac{40\sqrt{3}+3}{2}$
【知识点】
解直角三角形的应用（仰角问题）、矩形的性质、锐角三角函数的应用
【点评】
本题考查解直角三角形在实际测量中的应用，关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用锐角三角函数求出塔顶到测角仪水平高度的部分，再结合测角仪高度得到塔的总高度，需注意数的形式统一。
【难度系数】
0.7
4. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡 $ AB $ 的斜面坡度 $ i = 1:\sqrt{2} $(斜面坡度是指坡面的铅直高度 $ BC $ 与水平宽度 $ AC $ 的比)，堤坝高 $ BC = 15\ \mathrm{m} $，则迎水坡面 $ AB $ 的长度是
$15\sqrt{3}$m
。答案
4. $15\sqrt{3}$m
解析
【解析】
已知迎水坡$ AB $的斜面坡度$ i = 1:\sqrt{2} $，即$ \frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}} $。
因为$ BC = 15\ \mathrm{m} $，所以$ AC = 15\sqrt{2}\ \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，由勾股定理得：
$ AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{15^2 + (15\sqrt{2})^2} = \sqrt{225 + 450} = \sqrt{675} = 15\sqrt{3}\ \mathrm{m} $。
【答案】
$ 15\sqrt{3}\ \mathrm{m} $
【知识点】
坡度的定义，勾股定理
【点评】
本题考查坡度的定义与勾股定理的实际应用，需熟练掌握坡度的含义，结合勾股定理求解直角三角形的边长。
【难度系数】
0.7
已知迎水坡$ AB $的斜面坡度$ i = 1:\sqrt{2} $，即$ \frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}} $。
因为$ BC = 15\ \mathrm{m} $，所以$ AC = 15\sqrt{2}\ \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，由勾股定理得：
$ AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{15^2 + (15\sqrt{2})^2} = \sqrt{225 + 450} = \sqrt{675} = 15\sqrt{3}\ \mathrm{m} $。
【答案】
$ 15\sqrt{3}\ \mathrm{m} $
【知识点】
坡度的定义，勾股定理
【点评】
本题考查坡度的定义与勾股定理的实际应用，需熟练掌握坡度的含义，结合勾股定理求解直角三角形的边长。
【难度系数】
0.7
