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13. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ ∠ ABC = ∠ ADC = 90° $，$ AB = 6 $，$ CD = 4 $，$ BC $ 的延长线与 $ AD $ 的延长线交于点 $ E $.
（1）若 $ ∠ A = 60° $，求 $ BC $ 的长；
（2）若 $ \sin A = \dfrac{4}{5} $，求 $ AD $ 的长.
（1）若 $ ∠ A = 60° $，求 $ BC $ 的长；
（2）若 $ \sin A = \dfrac{4}{5} $，求 $ AD $ 的长.
答案
13. (1)$6\sqrt{3} - 8$ (2)$\frac{14}{3}$
解析
【解析】
（1）在$Rt△ ABE$中，$∠ A=60°$，$∠ ABE=90°$，$AB=6$，
由$\tan A=\frac{BE}{AB}$，得$BE=AB·\tan60°=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$，
$∠ E=90°-∠ A=30°$，
在$Rt△ CDE$中，$∠ CDE=90°$，$CD=4$，由$\sin E=\frac{CD}{CE}$，
得$CE=\frac{CD}{\sin30°}=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8$，
故$BC=BE-CE=6\sqrt{3}-8$。
（2）在$Rt△ ABE$中，$\sin A=\frac{BE}{AE}=\frac{4}{5}$，设$BE=4k$，$AE=5k$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AE^2-BE^2}=3k$，
因为$AB=6$，所以$3k=6$，解得$k=2$，则$AE=10$，$BE=8$。
因为$∠ CDE=∠ ABE=90°$，$∠ E=∠ E$，所以$△ CDE∼△ ABE$，
则$\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{BE}$，即$\frac{4}{6}=\frac{DE}{8}$，解得$DE=\frac{16}{3}$，
故$AD=AE-DE=10-\frac{16}{3}=\frac{14}{3}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{6\sqrt{3}-8}$；（2）$\boldsymbol{\frac{14}{3}}$
【知识点】
直角三角形边角关系、相似三角形判定与性质、锐角三角函数
【点评】
本题考查直角三角形与相似三角形的综合应用，需熟练利用锐角三角函数计算线段长度，结合相似三角形的比例关系求解，理清图形中的角度与线段关系是解题关键。
【难度系数】
0.6
（1）在$Rt△ ABE$中，$∠ A=60°$，$∠ ABE=90°$，$AB=6$，
由$\tan A=\frac{BE}{AB}$，得$BE=AB·\tan60°=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$，
$∠ E=90°-∠ A=30°$，
在$Rt△ CDE$中，$∠ CDE=90°$，$CD=4$，由$\sin E=\frac{CD}{CE}$，
得$CE=\frac{CD}{\sin30°}=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8$，
故$BC=BE-CE=6\sqrt{3}-8$。
（2）在$Rt△ ABE$中，$\sin A=\frac{BE}{AE}=\frac{4}{5}$，设$BE=4k$，$AE=5k$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AE^2-BE^2}=3k$，
因为$AB=6$，所以$3k=6$，解得$k=2$，则$AE=10$，$BE=8$。
因为$∠ CDE=∠ ABE=90°$，$∠ E=∠ E$，所以$△ CDE∼△ ABE$，
则$\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{BE}$，即$\frac{4}{6}=\frac{DE}{8}$，解得$DE=\frac{16}{3}$，
故$AD=AE-DE=10-\frac{16}{3}=\frac{14}{3}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{6\sqrt{3}-8}$；（2）$\boldsymbol{\frac{14}{3}}$
【知识点】
直角三角形边角关系、相似三角形判定与性质、锐角三角函数
【点评】
本题考查直角三角形与相似三角形的综合应用，需熟练利用锐角三角函数计算线段长度，结合相似三角形的比例关系求解，理清图形中的角度与线段关系是解题关键。
【难度系数】
0.6
14. 如图，折叠矩形 $ ABCD $ 的一边 $ AD $，使点 $ D $ 落在 $ AB $ 边上的点 $ F $ 处，已知折痕 $ AE = 5\sqrt{5} $，且 $ \tan ∠ EFC = \dfrac{3}{4} $，求矩形 $ ABCD $ 的周长.
答案
14. 36
解析
【解析】
设 $ EC = 3k $，在 $ \mathrm{Rt}△ EFC $ 中，$ \tan∠ EFC = \dfrac{3}{4} $，$ ∠ C = 90° $，则 $ FC = 4k $，由勾股定理得 $ EF = \sqrt{EC^2 + FC^2} = 5k $。
由折叠性质知 $ DE = EF = 5k $，故 $ CD = DE + EC = 8k $，即 $ AB = 8k $，且 $ △ ADE ≌ △ AFE $，所以 $ AD = AF $，$ ∠ AFE = ∠ D = 90° $。
因为 $ ∠ AFB + ∠ EFC = 90° $，$ ∠ FEC + ∠ EFC = 90° $，所以 $ ∠ AFB = ∠ FEC $，则 $ \tan∠ AFB = \tan∠ FEC = \dfrac{FC}{EC} = \dfrac{4}{3} $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABF $ 中，$ \tan∠ AFB = \dfrac{AB}{BF} = \dfrac{4}{3} $，$ AB = 8k $，解得 $ BF = 6k $，则 $ AD = AF = BC = BF + FC = 6k + 4k = 10k $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ADE $ 中，由勾股定理：$ AD^2 + DE^2 = AE^2 $，代入 $ AD = 10k $，$ DE = 5k $，$ AE = 5\sqrt{5} $，得：
$(10k)^2 + (5k)^2 = (5\sqrt{5})^2$
解得 $ k = 1 $（$ k ＞ 0 $），则 $ AB = 8 $，$ AD = 10 $，矩形 $ ABCD $ 的周长为 $ 2×(8 + 10) = 36 $。
【答案】
36
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题通过设未知数，利用三角函数、折叠性质和勾股定理建立方程求解，关键是找到各边之间的数量关系，将几何问题转化为代数计算。
【难度系数】
0.4
设 $ EC = 3k $，在 $ \mathrm{Rt}△ EFC $ 中，$ \tan∠ EFC = \dfrac{3}{4} $，$ ∠ C = 90° $，则 $ FC = 4k $，由勾股定理得 $ EF = \sqrt{EC^2 + FC^2} = 5k $。
由折叠性质知 $ DE = EF = 5k $，故 $ CD = DE + EC = 8k $，即 $ AB = 8k $，且 $ △ ADE ≌ △ AFE $，所以 $ AD = AF $，$ ∠ AFE = ∠ D = 90° $。
因为 $ ∠ AFB + ∠ EFC = 90° $，$ ∠ FEC + ∠ EFC = 90° $，所以 $ ∠ AFB = ∠ FEC $，则 $ \tan∠ AFB = \tan∠ FEC = \dfrac{FC}{EC} = \dfrac{4}{3} $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABF $ 中，$ \tan∠ AFB = \dfrac{AB}{BF} = \dfrac{4}{3} $，$ AB = 8k $，解得 $ BF = 6k $，则 $ AD = AF = BC = BF + FC = 6k + 4k = 10k $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ADE $ 中，由勾股定理：$ AD^2 + DE^2 = AE^2 $，代入 $ AD = 10k $，$ DE = 5k $，$ AE = 5\sqrt{5} $，得：
$(10k)^2 + (5k)^2 = (5\sqrt{5})^2$
解得 $ k = 1 $（$ k ＞ 0 $），则 $ AB = 8 $，$ AD = 10 $，矩形 $ ABCD $ 的周长为 $ 2×(8 + 10) = 36 $。
【答案】
36
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题通过设未知数，利用三角函数、折叠性质和勾股定理建立方程求解，关键是找到各边之间的数量关系，将几何问题转化为代数计算。
【难度系数】
0.4
15. 已知 $ △ ABC $ 中，$ AB = 10 $，$ AC = 2\sqrt{7} $，$ ∠ B = 30° $，求 $ △ ABC $ 的面积.
答案
15. 解：作 $AD ⊥ BC$ 于点 $D$．
①如图①，当 $AB$，$AC$ 位于 $AD$ 异侧时，
在 $Rt△ ABD$ 中，$\because ∠ B = 30°$，$AB = 10$，
$\therefore AD = 5$，$BD = 5\sqrt{3}$．
在 $Rt△ ACD$ 中，$\because AC = 2\sqrt{7}$，$AD = 5$，
$\therefore CD = \sqrt{3}$，$\therefore BC = BD + CD = 6\sqrt{3}$，
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}BC · AD = 15\sqrt{3}$．
②如图②，当 $AB$，$AC$ 在 $AD$ 的同侧时，
由①知，$BD = 5\sqrt{3}$，$CD = \sqrt{3}$，
$\therefore BC = BD - CD = 4\sqrt{3}$，
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}BC · AD = 10\sqrt{3}$．
综上，$△ ABC$ 的面积是 $15\sqrt{3}$ 或 $10\sqrt{3}$．
解析
【解析】
作$AD ⊥ BC$于点$D$，分两种情况讨论：
①当$AB$，$AC$位于$AD$异侧时：
在$Rt△ABD$中，$\because ∠B = 30°$，$AB = 10$，
$\therefore AD = \frac{1}{2}AB = 5$，$BD = AB·\cos30° = 5\sqrt{3}$。
在$Rt△ACD$中，$\because AC = 2\sqrt{7}$，$AD = 5$，
由勾股定理得$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{(2\sqrt{7})^2 - 5^2} = \sqrt{3}$，
$\therefore BC = BD + CD = 5\sqrt{3} + \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$，
$\therefore S_{△ABC} = \frac{1}{2}BC· AD = \frac{1}{2}×6\sqrt{3}×5 = 15\sqrt{3}$。
②当$AB$，$AC$在$AD$同侧时：
由①知$BD = 5\sqrt{3}$，$CD = \sqrt{3}$，
$\therefore BC = BD - CD = 5\sqrt{3} - \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$，
$\therefore S_{△ABC} = \frac{1}{2}BC· AD = \frac{1}{2}×4\sqrt{3}×5 = 10\sqrt{3}$。
综上，$△ABC$的面积为$15\sqrt{3}$或$10\sqrt{3}$。
【答案】
$15\sqrt{3}$或$10\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形性质、勾股定理、三角形面积计算
【点评】
本题需分类讨论$AC$相对于$AD$的位置，避免漏解，综合考查了直角三角形相关性质与勾股定理的运用，培养分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.6
作$AD ⊥ BC$于点$D$，分两种情况讨论：
①当$AB$，$AC$位于$AD$异侧时：
在$Rt△ABD$中，$\because ∠B = 30°$，$AB = 10$，
$\therefore AD = \frac{1}{2}AB = 5$，$BD = AB·\cos30° = 5\sqrt{3}$。
在$Rt△ACD$中，$\because AC = 2\sqrt{7}$，$AD = 5$，
由勾股定理得$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{(2\sqrt{7})^2 - 5^2} = \sqrt{3}$，
$\therefore BC = BD + CD = 5\sqrt{3} + \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$，
$\therefore S_{△ABC} = \frac{1}{2}BC· AD = \frac{1}{2}×6\sqrt{3}×5 = 15\sqrt{3}$。
②当$AB$，$AC$在$AD$同侧时：
由①知$BD = 5\sqrt{3}$，$CD = \sqrt{3}$，
$\therefore BC = BD - CD = 5\sqrt{3} - \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$，
$\therefore S_{△ABC} = \frac{1}{2}BC· AD = \frac{1}{2}×4\sqrt{3}×5 = 10\sqrt{3}$。
综上，$△ABC$的面积为$15\sqrt{3}$或$10\sqrt{3}$。
【答案】
$15\sqrt{3}$或$10\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形性质、勾股定理、三角形面积计算
【点评】
本题需分类讨论$AC$相对于$AD$的位置，避免漏解，综合考查了直角三角形相关性质与勾股定理的运用，培养分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.6
