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9. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ CAB = 90° $，$ AD $ 是 $ ∠ CAB $ 的角平分线，$ \tan B = \dfrac{1}{2} $，则 $ CD : DB = $
$1:2$
.答案
9. $1:2$
解析
【解析】
在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，$∠ CAB=90°$，由 $\tan B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{1}{2}$。
根据角平分线定理：三角形的角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例，可得 $\dfrac{CD}{DB} = \dfrac{AC}{AB}$。
将 $\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{1}{2}$ 代入，得 $CD:DB = 1:2$。
【答案】
$1:2$
【知识点】
角平分线定理、锐角三角函数定义
【点评】
本题综合考查角平分线定理与锐角三角函数的应用，解题关键是利用角平分线定理将线段比转化为三角形两边的比，结合已知正切值求解。
【难度系数】
0.6
在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，$∠ CAB=90°$，由 $\tan B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{1}{2}$。
根据角平分线定理：三角形的角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例，可得 $\dfrac{CD}{DB} = \dfrac{AC}{AB}$。
将 $\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{1}{2}$ 代入，得 $CD:DB = 1:2$。
【答案】
$1:2$
【知识点】
角平分线定理、锐角三角函数定义
【点评】
本题综合考查角平分线定理与锐角三角函数的应用，解题关键是利用角平分线定理将线段比转化为三角形两边的比，结合已知正切值求解。
【难度系数】
0.6
10. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AD ⊥ BC $ 于点 $ D $，$ CE ⊥ AB $ 于点 $ E $，且 $ BE = 2AE $，已知 $ AD = 3\sqrt{3} $，$ \tan ∠ BCE = \dfrac{\sqrt{3}}{3} $，则 $ CE = $
$4\sqrt{3}$
.答案
10. $4\sqrt{3}$
解析
【解析】
1. 由 $\tan ∠ BCE = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$，得 $∠BCE=30°$。
2. 因为 $CE⊥AB$，所以在 $Rt△BEC$ 中，$∠B=90°-30°=60°$。
3. 又 $AD⊥BC$，$AD=3\sqrt{3}$，在 $Rt△ABD$ 中，$AB=\dfrac{AD}{\sin60°}=\dfrac{3\sqrt{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=6$。
4. 设 $AE=x$，由 $BE=2AE$ 得 $BE=2x$，则 $AB=AE+BE=3x=6$，解得 $x=2$，故 $BE=4$。
5. 在 $Rt△BEC$ 中，$CE=BE·\cot30°=4×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
锐角三角函数定义，直角三角形性质
【点评】
本题考查直角三角形中三角函数的应用，需结合直角三角形的边角关系逐步推导边长，关键是利用三角函数求出角度，再结合线段比例关系求解。
【难度系数】
0.6
1. 由 $\tan ∠ BCE = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$，得 $∠BCE=30°$。
2. 因为 $CE⊥AB$，所以在 $Rt△BEC$ 中，$∠B=90°-30°=60°$。
3. 又 $AD⊥BC$，$AD=3\sqrt{3}$，在 $Rt△ABD$ 中，$AB=\dfrac{AD}{\sin60°}=\dfrac{3\sqrt{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=6$。
4. 设 $AE=x$，由 $BE=2AE$ 得 $BE=2x$，则 $AB=AE+BE=3x=6$，解得 $x=2$，故 $BE=4$。
5. 在 $Rt△BEC$ 中，$CE=BE·\cot30°=4×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
锐角三角函数定义，直角三角形性质
【点评】
本题考查直角三角形中三角函数的应用，需结合直角三角形的边角关系逐步推导边长，关键是利用三角函数求出角度，再结合线段比例关系求解。
【难度系数】
0.6
11. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = AC = 5 $，$ \sin B = \dfrac{4}{5} $，则 $ BC $ 的长是 (
A.3
B.6
C.8
D.9
B
)A.3
B.6
C.8
D.9
答案
11. B
解析
【解析】
过点$ A $作$ AD ⊥ BC $于点$ D $。
因为$ AB = AC $，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$ BD = DC $。
在$ \mathrm{Rt} △ ABD $中，$ AB = 5 $，$ \sin B = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{5} $，则$ AD = AB × \sin B = 5 × \dfrac{4}{5} = 4 $。
由勾股定理得：$ BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3 $。
所以$ BC = 2BD = 2 × 3 = 6 $。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理
【点评】
本题考查等腰三角形与三角函数的综合应用，通过作高构造直角三角形是解题的突破口，熟练运用等腰三角形三线合一、勾股定理及三角函数定义是解题关键。
【难度系数】
0.7
过点$ A $作$ AD ⊥ BC $于点$ D $。
因为$ AB = AC $，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$ BD = DC $。
在$ \mathrm{Rt} △ ABD $中，$ AB = 5 $，$ \sin B = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{5} $，则$ AD = AB × \sin B = 5 × \dfrac{4}{5} = 4 $。
由勾股定理得：$ BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3 $。
所以$ BC = 2BD = 2 × 3 = 6 $。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理
【点评】
本题考查等腰三角形与三角函数的综合应用，通过作高构造直角三角形是解题的突破口，熟练运用等腰三角形三线合一、勾股定理及三角函数定义是解题关键。
【难度系数】
0.7
12. 如图，一块矩形木板 $ ABCD $ 斜靠在墙边($ OC ⊥ OB $，点 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $，$ O $ 在同一平面内)，已知 $ CD = a $，$ AD = b $，$ ∠ BCO = x $，则点 $ A $ 到 $ OB $ 的距离等于 (
A.$ a \sin x $
B.$ a \cos x $
C.$ b \cos x $
D.$ b \sin x $
A
)A.$ a \sin x $
B.$ a \cos x $
C.$ b \cos x $
D.$ b \sin x $
答案
12. A
解析
【解析】
过点A作AE⊥OB于点E。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=a，∠ABC=90°，
∴∠ABE + ∠OBC = 90°。
∵OC⊥OB，∠BCO=x，
∴∠OBC + ∠BCO = 90°，
∴∠ABE=∠BCO=x。
在Rt△ABE中，AE=AB·sinx=a sinx，
即点A到OB的距离为a sinx。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题考查矩形性质与锐角三角函数的综合应用，关键是通过角的互余关系转化相等角，构造直角三角形利用三角函数求解线段长度。
【难度系数】
0.6
过点A作AE⊥OB于点E。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=a，∠ABC=90°，
∴∠ABE + ∠OBC = 90°。
∵OC⊥OB，∠BCO=x，
∴∠OBC + ∠BCO = 90°，
∴∠ABE=∠BCO=x。
在Rt△ABE中，AE=AB·sinx=a sinx，
即点A到OB的距离为a sinx。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题考查矩形性质与锐角三角函数的综合应用，关键是通过角的互余关系转化相等角，构造直角三角形利用三角函数求解线段长度。
【难度系数】
0.6
