例 1 已知 $ a ＞ b ＞ 0 $，试比较 $\frac{1}{a}$ 与 $\frac{1}{a - b}$ 的大小。

解：
$\frac{1}{a} - \frac{1}{a - b}$
$=\frac{a - b - a}{a(a - b)}$
$=\frac{-b}{a(a - b)}$
因为$a ＞ b ＞ 0$，所以$a＞0$，$a - b＞0$，$b＞0$，
则$\frac{-b}{a(a - b)}＜0$，
即$\frac{1}{a} - \frac{1}{a - b}＜0$，
所以$\frac{1}{a}＜\frac{1}{a - b}$。

例 2 定义：若分式 $ A $ 与分式 $ B $ 的差等于它们的积，即 $ A - B = AB $，则称分式 $ B $ 是分式 $ A $ 的“分裂分式”。
如 $\frac{1}{x + 1}$ 与 $\frac{1}{x + 2}$，$\because \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1)(x + 2)}$，$\frac{1}{x + 1} × \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1)(x + 2)}$，$\therefore \frac{1}{x + 2}$ 是 $\frac{1}{x + 1}$ 的“分裂分式”。
（1）求证：分式 $\frac{1}{x + 3}$ 是 $\frac{1}{x + 2}$ 的“分裂分式”。
（2）分式 $\frac{2x + 3}{3x + 3}$ 是分式 $ A $ 的“分裂分式”。求整数 $ x $ 为何值时，分式 $ A $ 的值是正整数，并写出分式 $ A $ 的值。

（1）证明：
$\because \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} = \frac{(x+3)-(x+2)}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{(x+2)(x+3)}$，
$\frac{1}{x+2} × \frac{1}{x+3} = \frac{1}{(x+2)(x+3)}$，
$\therefore \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} = \frac{1}{x+2} × \frac{1}{x+3}$，
$\therefore$ 分式$\frac{1}{x+3}$是$\frac{1}{x+2}$的“分裂分式”。
（2）解：
根据题意得：$A - \frac{2x+3}{3x+3} = A·\frac{2x+3}{3x+3}$，
移项得：$A - A·\frac{2x+3}{3x+3} = \frac{2x+3}{3x+3}$，
提取公因式得：$A(1 - \frac{2x+3}{3x+3}) = \frac{2x+3}{3x+3}$，
化简$1 - \frac{2x+3}{3x+3}$：
$1 - \frac{2x+3}{3(x+1)} = \frac{3(x+1)-(2x+3)}{3(x+1)} = \frac{3x+3-2x-3}{3(x+1)} = \frac{x}{3(x+1)}$，
则$A = \frac{\frac{2x+3}{3(x+1)}}{\frac{x}{3(x+1)}} = \frac{2x+3}{x} = 2 + \frac{3}{x}$。
$\because$ 分式$A$的值是正整数，$x$为整数，
$\therefore \frac{3}{x}$为整数，且$2 + \frac{3}{x} ＞ 0$，
又$\because$ 分式有意义，$\therefore 3x+3≠0$且$x≠0$，即$x≠-1$且$x≠0$。
$3$的整数约数为$\pm1,\pm3$，
当$x=1$时，$A=2+3=5$；
当$x=3$时，$A=2+1=3$；
当$x=-3$时，$A=2-1=1$；
当$x=-1$时，分式无意义，舍去。
答：当$x=1$时，$A$的值为$5$；当$x=3$时，$A$的值为$3$；当$x=-3$时，$A$的值为$1$。

1. 若 $ ab = - 4 $，其中 $ a ＞ b $，以下分式中一定比 $\frac{b}{a}$ 大的是()

A.$\frac{2b}{2a}$
B.$\frac{2b}{a}$
C.$-\frac{2}{a}$
D.$\frac{b + 2}{a}$

D

1. 选项A：$\frac{2b}{2a}=\frac{b}{a}$，与$\frac{b}{a}$相等，不符合要求；
2. 选项B：$\frac{2b}{a}-\frac{b}{a}=\frac{b}{a}$，由$ab=-4$得$\frac{b}{a}=-\frac{b^2}{4}＜0$，故$\frac{2b}{a}＜\frac{b}{a}$，不符合；
3. 选项C：$-\frac{2}{a}-\frac{b}{a}=\frac{-2-b}{a}$，代入$b=-\frac{4}{a}$得$\frac{-2a+4}{a^2}$，当$a=4$时，该式为负，即$-\frac{2}{a}＜\frac{b}{a}$，不符合“一定”的要求；
4. 选项D：$\frac{b+2}{a}-\frac{b}{a}=\frac{2}{a}$，由$ab=-4$且$a＞b$，可知$a＞0$，故$\frac{2}{a}＞0$，即$\frac{b+2}{a}＞\frac{b}{a}$，符合要求。

2. 对于 $ M = \frac{x + 2}{2}$，$N = \frac{4x}{x + 2}$，小红和小明给出如下结论：小红认为，当 $ x ＞ 0 $ 时，$ M - N ＞ 0 $；小明认为，当 $ x = 2 $ 时，$ M = N $。则下列说法正确的是()

A.小红对，小明错
B.小红错，小明对
C.小红、小明都对
D.小红、小明都不对

B

先计算$M-N$：
$\begin{aligned}M-N&=\frac{x+2}{2}-\frac{4x}{x+2}\\&=\frac{(x+2)^2 - 8x}{2(x+2)}\\&=\frac{x^2+4x+4-8x}{2(x+2)}\\&=\frac{x^2-4x+4}{2(x+2)}\\&=\frac{(x-2)^2}{2(x+2)}\end{aligned}$
1. 分析小红的结论：当$x＞0$时，分母$2(x+2)＞0$，分子$(x-2)^2≥0$，当$x=2$时，$(x-2)^2=0$，此时$M-N=0$，并非$M-N＞0$，故小红的结论错误。
2. 分析小明的结论：当$x=2$时，$M=\frac{2+2}{2}=2$，$N=\frac{4×2}{2+2}=2$，即$M=N$，故小明的结论正确。

二、填空题
3. 已知实数 $ a$，$b $ 互为倒数，设 $ M = \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$，$N = \frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 1}$，则 $ M$，$N $ 的大小关系是。

解：
∵实数$a$，$b$互为倒数，
∴$ab=1$。
$M - N = ( \frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} ) - ( \frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1} )$
$= \frac{1 - a}{a+1} + \frac{1 - b}{b+1}$
$= \frac{(1 - a)(b+1) + (1 - b)(a+1)}{(a+1)(b+1)}$
$= \frac{b + 1 - ab - a + a + 1 - ab - b}{(a+1)(b+1)}$
$= \frac{2 - 2ab}{(a+1)(b+1)}$
将$ab=1$代入得：
$M - N = \frac{2 - 2×1}{(a+1)(b+1)} = 0$
∴$M=N$