例2（2024·湖南）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为42m.在安装过程中，栅栏不重叠、无损耗.设矩形试验田与墙垂直的一边长为$x$（单位：m），与墙平行的一边长为$y$（单位：m），面积为$S$（单位：$m^2$）.
（1）求$y$与$x$，$S$与$x$之间的函数解析式，并写出自变量$x$的取值范围.
（2）矩形试验田的面积能达到750$m^2$吗？若能，求$x$的值；若不能，请说明理由.
（3）当$x$的值是多少时，矩形试验田的面积最大？最大面积是多少？

分析（1）根据$2x + y = 80$和$xy = S$，可求得$y$与$x$，$S$与$x$之间的函数解析式；
（2）在$S$与$x$之间的函数解析式中，令$S = 750$，解方程，将问题转化为方程是否有实数根，进而再判断根是否符合实际意义；
（3）$S$是$x$的二次函数，利用配方法或公式法求出函数的最大值.

（1）由题意得：$2x + y = 80$，则$y = 80 - 2x$。
面积$S = x · y = x(80 - 2x) = -2x^2 + 80x$。
自变量$x$的取值范围：$\begin{cases} y ≤ 42 \\ y ＞ 0 \\ x ＞ 0 \end{cases}$，即$\begin{cases} 80 - 2x ≤ 42 \\ 80 - 2x ＞ 0 \\ x ＞ 0 \end{cases}$，解得$19 ≤ x ＜ 40$。
（2）令$S = 750$，则$-2x^2 + 80x = 750$，整理得$x^2 - 40x + 375 = 0$。
解得$x_1 = 15$，$x_2 = 25$。
$\because 19 ≤ x ＜ 40$，$\therefore x = 25$。
答：能，$x$的值为$25$。
（3）$S = -2x^2 + 80x = -2(x - 20)^2 + 800$。
$\because -2 ＜ 0$，对称轴$x = 20$，且$19 ≤ 20 ＜ 40$，
$\therefore$当$x = 20$时，$S$最大，最大面积为$800\ \mathrm{m}^2$。
答：当$x = 20$时，面积最大，最大面积是$800\ \mathrm{m}^2$。