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5. (2024·石家庄)若$3x + 1的值比3 - 2x$的值小1,则$x$的值为( )
A.-5
B.-1
C.-3
D.$\frac{1}{5}$
A.-5
B.-1
C.-3
D.$\frac{1}{5}$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要把题目中的文字表述转化为等量关系：“3x+1比3-2x小1”等价于3x+1等于3-2x减1，据此列出一元一次方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可得到x的值。
【解析】
根据题意列方程：
$3x + 1 = (3 - 2x) - 1$
化简方程右侧得：
$3x + 1 = 2 - 2x$
移项（移项要变号），将含x的项移到左侧，常数项移到右侧：
$3x + 2x = 2 - 1$
合并同类项得：
$5x = 1$
系数化为1，两边同时除以5：
$x = \frac{1}{5}$
【答案】
D
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确理解文字描述的数量关系，正确列出方程，解一元一次方程时注意移项要改变符号，避免出现符号类低级错误。
【难度系数】
0.9
解题时首先要把题目中的文字表述转化为等量关系：“3x+1比3-2x小1”等价于3x+1等于3-2x减1，据此列出一元一次方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可得到x的值。
【解析】
根据题意列方程：
$3x + 1 = (3 - 2x) - 1$
化简方程右侧得：
$3x + 1 = 2 - 2x$
移项（移项要变号），将含x的项移到左侧，常数项移到右侧：
$3x + 2x = 2 - 1$
合并同类项得：
$5x = 1$
系数化为1，两边同时除以5：
$x = \frac{1}{5}$
【答案】
D
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确理解文字描述的数量关系，正确列出方程，解一元一次方程时注意移项要改变符号，避免出现符号类低级错误。
【难度系数】
0.9
6. (分类讨论)定义一种新运算：$m※n = \begin{cases}m + n(m \geq 0) \\ m - n(m ＜ 0)\end{cases} $,若$x※(-8) = 5$,则$x = $______。
答案
13或-3
解析
【分析】
本题是新定义运算结合分类讨论的题型，解题时首先要明确新运算的分段规则：当运算的第一个数≥0时，运算结果为两数之和；当第一个数＜0时，运算结果为两数之差。我们需要对x的取值范围分x≥0和x＜0两种情况讨论，分别按照对应规则将x※(-8)转化为普通一元一次方程，求解后还要检验解是否符合对应分类的取值范围，保留符合条件的解即可。
【解析】
根据新运算的定义，分两种情况讨论：
① 当x≥0时，符合m≥0的运算规则，可得：
$\begin{aligned}x※(-8)&=x + (-8)=5\\x-8&=5\\x&=13\end{aligned}$
检验：13≥0，符合该分类的取值范围，是有效解。
② 当x＜0时，符合m＜0的运算规则，可得：
$\begin{aligned}x※(-8)&=x - (-8)=5\\x+8&=5\\x&=-3\end{aligned}$
检验：-3＜0，符合该分类的取值范围，是有效解。
综上，x的值为13或-3。
【答案】
13或-3
【知识点】
新定义运算、一元一次方程求解、分类讨论思想
【点评】
解决此类新定义运算题的关键是准确理解运算规则，出现分段式的运算规则时要注意分类讨论，求解后务必要检验解是否符合对应分类的前提条件，避免得到不符合要求的增解。
【难度系数】
0.6
本题是新定义运算结合分类讨论的题型，解题时首先要明确新运算的分段规则：当运算的第一个数≥0时，运算结果为两数之和；当第一个数＜0时，运算结果为两数之差。我们需要对x的取值范围分x≥0和x＜0两种情况讨论，分别按照对应规则将x※(-8)转化为普通一元一次方程，求解后还要检验解是否符合对应分类的取值范围，保留符合条件的解即可。
【解析】
根据新运算的定义，分两种情况讨论：
① 当x≥0时，符合m≥0的运算规则，可得：
$\begin{aligned}x※(-8)&=x + (-8)=5\\x-8&=5\\x&=13\end{aligned}$
检验：13≥0，符合该分类的取值范围，是有效解。
② 当x＜0时，符合m＜0的运算规则，可得：
$\begin{aligned}x※(-8)&=x - (-8)=5\\x+8&=5\\x&=-3\end{aligned}$
检验：-3＜0，符合该分类的取值范围，是有效解。
综上，x的值为13或-3。
【答案】
13或-3
【知识点】
新定义运算、一元一次方程求解、分类讨论思想
【点评】
解决此类新定义运算题的关键是准确理解运算规则，出现分段式的运算规则时要注意分类讨论，求解后务必要检验解是否符合对应分类的前提条件，避免得到不符合要求的增解。
【难度系数】
0.6
7. 解方程：
(1)$\frac{2x - 1}{3} - \frac{5x + 1}{2} - 1 = 0$；
(2)$\frac{x - 2}{0.2} - \frac{x + 1}{0.5} = 3$。
(1)$\frac{2x - 1}{3} - \frac{5x + 1}{2} - 1 = 0$；
(2)$\frac{x - 2}{0.2} - \frac{x + 1}{0.5} = 3$。
答案
(1)去分母,得
2(2x-1)-3(5x+1)-6=0,
去括号,得4x-2-15x-3-6=0,
移项,得4x-15x=2+3+6,
合并同类项,得-11x=11,
系数化为1,得x=-1.
(2)去分母,得5(x-2)-2(x+1)=3.
去括号,得5x-10-2x-2=3.
移项及合并同类项,得3x=15.
系数化为1,得x=5.
解析
【分析】
这两道题均为一元一次方程求解问题，按照解一元一次方程的标准步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1逐步计算即可。第(1)题分母为3和2，最小公倍数是6，去分母时注意不要漏乘不含分母的常数项-1；第(2)题分母为小数，可利用分数性质将分母转化为整数后再去分母，后续按常规步骤计算即可。
【解析】
(1)去分母,得
2(2x-1)-3(5x+1)-6=0,
去括号,得4x-2-15x-3-6=0,
移项,得4x-15x=2+3+6,
合并同类项,得-11x=11,
系数化为1,得x=-1.
(2)去分母,得5(x-2)-2(x+1)=3.
去括号,得5x-10-2x-2=3.
移项及合并同类项,得3x=15.
系数化为1,得x=5.
【答案】
(1)$x=-1$；(2)$x=5$
【知识点】
一元一次方程的解法、去括号法则、等式的基本性质
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题，易错点为去分母时漏乘不含分母的项、去括号时符号出错、移项未变号，处理小数分母时也容易出现计算错误，解题时需逐步骤核对计算结果。
【难度系数】
0.8
这两道题均为一元一次方程求解问题，按照解一元一次方程的标准步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1逐步计算即可。第(1)题分母为3和2，最小公倍数是6，去分母时注意不要漏乘不含分母的常数项-1；第(2)题分母为小数，可利用分数性质将分母转化为整数后再去分母，后续按常规步骤计算即可。
【解析】
(1)去分母,得
2(2x-1)-3(5x+1)-6=0,
去括号,得4x-2-15x-3-6=0,
移项,得4x-15x=2+3+6,
合并同类项,得-11x=11,
系数化为1,得x=-1.
(2)去分母,得5(x-2)-2(x+1)=3.
去括号,得5x-10-2x-2=3.
移项及合并同类项,得3x=15.
系数化为1,得x=5.
【答案】
(1)$x=-1$；(2)$x=5$
【知识点】
一元一次方程的解法、去括号法则、等式的基本性质
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题，易错点为去分母时漏乘不含分母的项、去括号时符号出错、移项未变号，处理小数分母时也容易出现计算错误，解题时需逐步骤核对计算结果。
【难度系数】
0.8
8. 小云在某月的月历中圈出了相邻的三个日期$a$,$b$,$c$,并求出它们的和为30,则这三个日期在月历中的位置不可能是( )
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
答案
C
解析
【分析】
解题首先要明确月历的排列规律：同一行相邻两个日期相差1，同一列相邻两个日期相差7。我们可以对每个选项中a、b、c的位置关系，用含a的代数式分别表示b和c，再根据三个日期的和为30列一元一次方程求解，若解得的a是符合要求的正整数，则该位置可能，反之不可能。
【解析】
月历中横向相邻日期相差1，纵向相邻日期相差7，逐个分析选项：
选项A：三个数同行，$b=a+1$，$c=a+2$，列方程：
$ a+(a+1)+(a+2)=30 $
解得$3a=27$，$a=9$，是正整数，符合日期要求，可能。
选项B：a在b正上方，b、c同行，故$b=a+7$，$c=a+8$，列方程：
$ a+(a+7)+(a+8)=30 $
解得$3a=15$，$a=5$，是正整数，符合日期要求，可能。
选项C：a、c同行，b在c正上方，故$c=a+1$，$b=a+1-7=a-6$，列方程：
$ a+(a-6)+(a+1)=30 $
解得$3a=35$，$a=\frac{35}{3}$，不是正整数，不符合日期要求，不可能。
选项D：三个数同列，$b=a+7$，$c=a+14$，列方程：
$ a+(a+7)+(a+14)=30 $
解得$3a=9$，$a=3$，是正整数，符合日期要求，可能。
【答案】
C
【知识点】
月历数字规律，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中月历的排列特点，考查数字规律探究与一元一次方程的实际应用，解题的关键是准确梳理不同位置下三个日期的数量关系，注意日期必须为正整数这一隐含条件。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确月历的排列规律：同一行相邻两个日期相差1，同一列相邻两个日期相差7。我们可以对每个选项中a、b、c的位置关系，用含a的代数式分别表示b和c，再根据三个日期的和为30列一元一次方程求解，若解得的a是符合要求的正整数，则该位置可能，反之不可能。
【解析】
月历中横向相邻日期相差1，纵向相邻日期相差7，逐个分析选项：
选项A：三个数同行，$b=a+1$，$c=a+2$，列方程：
$ a+(a+1)+(a+2)=30 $
解得$3a=27$，$a=9$，是正整数，符合日期要求，可能。
选项B：a在b正上方，b、c同行，故$b=a+7$，$c=a+8$，列方程：
$ a+(a+7)+(a+8)=30 $
解得$3a=15$，$a=5$，是正整数，符合日期要求，可能。
选项C：a、c同行，b在c正上方，故$c=a+1$，$b=a+1-7=a-6$，列方程：
$ a+(a-6)+(a+1)=30 $
解得$3a=35$，$a=\frac{35}{3}$，不是正整数，不符合日期要求，不可能。
选项D：三个数同列，$b=a+7$，$c=a+14$，列方程：
$ a+(a+7)+(a+14)=30 $
解得$3a=9$，$a=3$，是正整数，符合日期要求，可能。
【答案】
C
【知识点】
月历数字规律，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中月历的排列特点，考查数字规律探究与一元一次方程的实际应用，解题的关键是准确梳理不同位置下三个日期的数量关系，注意日期必须为正整数这一隐含条件。
【难度系数】
0.7
9. (2024·广州中考)某新能源车企今年5月交付新车35060辆,且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆。设该车企去年5月交付新车$x$辆,根据题意,可列方程为( )
A.$1.2x + 1100 = 35060$
B.$1.2x - 1100 = 35060$
C.$1.2(x + 1100) = 35060$
D.$x - 1100 = 35060×1.2$
A.$1.2x + 1100 = 35060$
B.$1.2x - 1100 = 35060$
C.$1.2(x + 1100) = 35060$
D.$x - 1100 = 35060×1.2$
答案
A
解析
【分析】
解决这类列方程的题目，核心是先找到题干中的等量关系。首先抓住关键表述“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”，我们已经设去年5月交付量为x辆：第一步先表示出去年交付量的1.2倍，即1.2x；“多1100辆”就是在1.2x的基础上加上1100，这个结果就等于今年5月的交付量35060辆，顺着这个逻辑就能列出对应的方程。
【解析】
设该车企去年5月交付新车$x$辆。
第一步：计算去年5月交付量的1.2倍，为$1.2x$；
第二步：“比1.2倍还多1100辆”，即$1.2x + 1100$，该数值与今年5月交付量35060辆相等；
因此可列方程为$1.2x + 1100 = 35060$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
①列一元一次方程
②找实际问题等量关系
【点评】
本题是基础的方程应用类题目，解题关键是准确理解“比某数的几倍多几”对应的运算逻辑，提取到正确的等量关系就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解决这类列方程的题目，核心是先找到题干中的等量关系。首先抓住关键表述“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”，我们已经设去年5月交付量为x辆：第一步先表示出去年交付量的1.2倍，即1.2x；“多1100辆”就是在1.2x的基础上加上1100，这个结果就等于今年5月的交付量35060辆，顺着这个逻辑就能列出对应的方程。
【解析】
设该车企去年5月交付新车$x$辆。
第一步：计算去年5月交付量的1.2倍，为$1.2x$；
第二步：“比1.2倍还多1100辆”，即$1.2x + 1100$，该数值与今年5月交付量35060辆相等；
因此可列方程为$1.2x + 1100 = 35060$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
①列一元一次方程
②找实际问题等量关系
【点评】
本题是基础的方程应用类题目，解题关键是准确理解“比某数的几倍多几”对应的运算逻辑，提取到正确的等量关系就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
10. 水果店老板小张将新进的整箱水果按成本提高50%作为标价进行销售。对购买数量较多的顾客给予八折优惠,此时一箱水果的售价为96元,那么这箱水果的利润是______元。
答案
16
解析
【分析】
这是一道销售利润类题目，解题核心是理清成本、标价、折扣、售价之间的数量关系。我们可以先设成本价为未知数，根据“成本提高50%为标价，标价打八折后售价为96元”的等量关系列方程求出成本，再根据“利润=售价-成本”的公式计算最终利润，解题逻辑清晰易懂，符合七年级一元一次方程应用的知识要求。
【解析】
设这箱水果的成本价为$x$元。
1. 计算标价：按成本提高50%作为标价，因此标价为$(1+50\%)x=1.5x$元；
2. 根据售价列方程：八折优惠后售价为标价的80%，已知折后售价为96元，可列方程：
$1.5x × 80\% = 96$
化简左边得：$1.2x = 96$
解得：$x = 96÷1.2 = 80$
3. 计算利润：利润=售价-成本，即$96-80=16$元。
【答案】
16
【知识点】
折扣计算，利润计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题是销售类常见基础题型，解题关键是明确成本、标价、折扣、售价四个量之间的换算关系，找准等量关系即可快速求解，注意不要混淆各个量的对应关系。
【难度系数】
0.8
这是一道销售利润类题目，解题核心是理清成本、标价、折扣、售价之间的数量关系。我们可以先设成本价为未知数，根据“成本提高50%为标价，标价打八折后售价为96元”的等量关系列方程求出成本，再根据“利润=售价-成本”的公式计算最终利润，解题逻辑清晰易懂，符合七年级一元一次方程应用的知识要求。
【解析】
设这箱水果的成本价为$x$元。
1. 计算标价：按成本提高50%作为标价，因此标价为$(1+50\%)x=1.5x$元；
2. 根据售价列方程：八折优惠后售价为标价的80%，已知折后售价为96元，可列方程：
$1.5x × 80\% = 96$
化简左边得：$1.2x = 96$
解得：$x = 96÷1.2 = 80$
3. 计算利润：利润=售价-成本，即$96-80=16$元。
【答案】
16
【知识点】
折扣计算，利润计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题是销售类常见基础题型，解题关键是明确成本、标价、折扣、售价四个量之间的换算关系，找准等量关系即可快速求解，注意不要混淆各个量的对应关系。
【难度系数】
0.8
11. (2024·合肥)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何？”意思是：“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,这女子每天分别织布多少？”请你根据上述信息,求出该女子第二天织布多少尺。
答案
解:设第一天织布x尺.
由题意,得$x+2x+4x+8x+16x=5$,解得$x=\frac{5}{31}$.
所以第二天织布$2×\frac{5}{31}=\frac{10}{31}$(尺).
答:该女子第二天织布$\frac{10}{31}$尺.
由题意,得$x+2x+4x+8x+16x=5$,解得$x=\frac{5}{31}$.
所以第二天织布$2×\frac{5}{31}=\frac{10}{31}$(尺).
答:该女子第二天织布$\frac{10}{31}$尺.
解析
【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题时首先要抓住题目两个关键条件：一是每天织的布是前一天的2倍，二是5天一共织布5尺。我们可以先设第一天织布的数量为未知数，再根据“日自倍”的规律分别表示出后四天的织布量，最后根据5天总织布量为5尺的等量关系列方程求解，求出第一天的织布量后乘2即可得到第二天的织布量。
【解析】
解：设该女子第一天织布$ x $尺。
根据“每天织的布都是前一天的2倍”，可得后四天的织布量分别为$ 2x $尺、$ 4x $尺、$ 8x $尺、$ 16x $尺。
由5天共织布5尺，列方程得：
$ x + 2x + 4x + 8x + 16x = 5 $
合并同类项得：$ 31x = 5 $
解得：$ x = \frac{5}{31} $
所以第二天织布的长度为：$ 2x = 2 × \frac{5}{31} = \frac{10}{31} $（尺）
答：该女子第二天织布$ \frac{10}{31} $尺。
【答案】
$\frac{10}{31}$尺
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 倍数关系应用
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题结合我国古代数学名著的背景考查一元一次方程的实际应用，解题核心是准确梳理每天织布量的数量关系，找到总织布量的等量关系列方程，注重对学生读题理解能力和基础方程应用能力的考查。
【难度系数】
0.75
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题时首先要抓住题目两个关键条件：一是每天织的布是前一天的2倍，二是5天一共织布5尺。我们可以先设第一天织布的数量为未知数，再根据“日自倍”的规律分别表示出后四天的织布量，最后根据5天总织布量为5尺的等量关系列方程求解，求出第一天的织布量后乘2即可得到第二天的织布量。
【解析】
解：设该女子第一天织布$ x $尺。
根据“每天织的布都是前一天的2倍”，可得后四天的织布量分别为$ 2x $尺、$ 4x $尺、$ 8x $尺、$ 16x $尺。
由5天共织布5尺，列方程得：
$ x + 2x + 4x + 8x + 16x = 5 $
合并同类项得：$ 31x = 5 $
解得：$ x = \frac{5}{31} $
所以第二天织布的长度为：$ 2x = 2 × \frac{5}{31} = \frac{10}{31} $（尺）
答：该女子第二天织布$ \frac{10}{31} $尺。
【答案】
$\frac{10}{31}$尺
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 倍数关系应用
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题结合我国古代数学名著的背景考查一元一次方程的实际应用，解题核心是准确梳理每天织布量的数量关系，找到总织布量的等量关系列方程，注重对学生读题理解能力和基础方程应用能力的考查。
【难度系数】
0.75
