- 方程：含有______的等式

未知数

【分析】
本题考查方程的基础定义，解题时需回忆方程的判定要素：方程必须同时满足两个条件，一是为等式，二是含有未知的量（即未知数）。题目已经给出“等式”这一条件，对应填写另一个核心要素即可。
【解析】
根据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。可知方程的两个核心属性为“是等式”、“含有未知数”，题干已明确给出“等式”，因此空缺处应填未知数。
【答案】
未知数
【知识点】
方程的定义
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对教材基础定义的记忆与掌握，牢记方程的两个判定条件即可快速作答。
【难度系数】
0.9

- 方程的解：一般地,使方程______的未知数的值,叫作方程的解

左、右两边的值相等

【分析】
这道题考查方程的解的基础定义，解题时首先回忆方程的相关概念：方程是含有未知数的等式，判断一个未知数的值是否为方程的解，核心依据就是把这个值代入方程后，等式是否成立，也就是方程左右两边的计算结果是否相等，直接对应定义的表述即可作答。
【解析】
根据教材中方程的解的标准定义：一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解，因此横线处填入对应定义内容即可。
【答案】
左、右两边的值相等
【知识点】
方程的解的概念
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考查教材中的核心定义，熟练掌握课本基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9

- 解方程：求方程的解的______

过程

【分析】
本题考查基础概念辨析，解题时先回忆“方程的解”和“解方程”两个易混淆概念的定义：方程的解是最终得到的满足方程的未知数值，解方程是得到这个值的操作过程，结合题干描述即可确定应填的内容。
【解析】
根据数学概念定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，求方程的解的过程叫做解方程，因此横线处应填入“过程”。
【答案】
过程
【知识点】
解方程的定义；方程的解的概念
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对核心概念的区分和记忆，熟练掌握课本基础定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9

- 一元一次方程：一般地,如果方程中只含有______未知数(元),且含有未知数的式子都是______,未知数的次数都是1,这样的方程叫作一元一次方程

一个 整式

【分析】
我们可以结合“一元一次方程”的命名拆解定义要点来思考：首先“一元”对应的是未知数的数量，可直接推出第一个空的答案；其次要满足“一次”的要求，含有未知数的式子不能是分式（否则未知数次数为负）、根式（否则未知数次数为分数），只能是整式，由此可推出第二个空的答案。
【解析】
一元一次方程有3个核心判定要素：
1. 只含有一个未知数，对应名称里“一元”的含义；
2. 含有未知数的式子都是整式，不能出现分母含未知数、根号下含未知数的情况；
3. 未知数的次数都是1，对应名称里“一次”的含义。
因此两个空依次填写“一个”“整式”。
【答案】
一个 整式
【知识点】
一元一次方程的定义
【点评】
本题是对一元一次方程基础概念的直接考查，牢记定义的核心判定要素即可快速得分。
【难度系数】
0.9

- 性质1：如果$a = b$,那么______

a±c=b±c

【分析】
这道题考查等式的基本性质1的内容。已知a=b，说明a和b是相等的两个量，思考时抓住“相等的两个量同时做相同的加减操作后仍然相等”的规律：给相等的两个数同时加或者减同一个数（或整式），得到的新结果依然相等，由此即可推导得到对应的表达式。
【解析】
根据等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立。
已知a=b，在等式两边同时加或减同一个数c，可得：
$a\pm c = b\pm c$
【答案】
$a\pm c=b\pm c$
【知识点】
等式的性质
【点评】
本题属于基础概念识记题，直接考查等式性质的核心内容，熟练掌握该性质是学习解方程的重要前提。
【难度系数】
0.9

- 性质2：如果$a = b$,那么______

ac=bc

【分析】
这道题考查等式基本性质2的识记与应用。解题时首先回忆等式的两条基本性质：性质1是等式两边加减同一个数（或式子），结果仍相等；性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。题目明确指向性质2，因此给等式两边同时乘同一个数c，就能得到对应的等式。
【解析】
根据等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，所得结果仍然是等式。已知$a = b$，将等式两边同时乘同一个数$c$，可得$ac = bc$。
【答案】
$ac=bc$
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对等式性质2的掌握情况，牢记等式的相关性质是解答这类题的核心。
【难度系数】
0.9

- 解一元一次方程的步骤：______→______→______→______→______
- 列方程解应用题
一般步骤：审—设—找—列—解—检—答
常见类型：商品营销问题、比赛积分问题、行程问题、工程问题、最佳方案问题、比例分配问题

去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1

【分析】
这道题考查一元一次方程求解步骤的识记，我们回忆解一元一次方程的操作顺序即可：首先若方程含分母，要先利用等式性质去掉分母；之后若式子有括号，要按去括号法则去括号；接下来把含未知数的项移到方程一侧，常数项移到另一侧（即移项）；然后合并同类项将方程化简为$ax=b(a≠0)$的形式；最后把未知数的系数化为1得到方程的解，按这个顺序对应填写即可。
【解析】
解一元一次方程的标准步骤依次为：
1. 去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数，消去分母；
2. 去括号：遵循去括号法则，按层级去掉式子中的括号；
3. 移项：将含未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边，移项要变号；
4. 合并同类项：对同类项进行合并，将方程整理为$ax=b(a≠0)$的形式；
5. 系数化为1：方程两边同除以未知数的系数$a$，得到解$x=\frac{b}{a}$。
因此依次填入对应步骤即可。
【答案】
去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1
【知识点】
一元一次方程解法；等式的性质
【点评】
本题属于基础概念识记题，是求解一元一次方程的核心基础，熟练掌握该步骤能有效提升解方程的准确率和效率，也为后续列方程解决实际问题打下扎实基础。
【难度系数】
0.9

1. 若$(k - 2)x^{|k| - 1} - 3 = 0是关于x$的一元一次方程,则$k^{2} - 2k + 1$的值为( )

A.1
B.9
C.1或9
D.0

B

【分析】
要解决这道题，首先要明确一元一次方程的核心判定条件：一是只含一个未知数，未知数的最高次数为1；二是含有未知数的一次项系数不能为0。我们先根据这两个条件求出k的正确取值，再将k代入目标代数式计算结果即可。
【解析】
∵$(k - 2)x^{|k| - 1} - 3 = 0$是关于x的一元一次方程
∴需同时满足以下两个条件：
1. 未知数x的次数为1：$|k| - 1 = 1$
解这个式子得：$|k| = 2$，即$k = 2$或$k = -2$
2. 一次项系数不为0：$k - 2 ≠ 0$
解这个式子得：$k ≠ 2$
综合两个条件，可得$k = -2$
将$k = -2$代入$k^2 - 2k + 1$计算：
原式$= (-2)^2 - 2×(-2) + 1 = 4 + 4 + 1 = 9$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的定义、绝对值运算、代数式求值
【点评】
本题易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，误将k=2代入计算得到结果1，从而错选C。解题时要牢记一元一次方程的两个判定条件，二者缺一不可。
【难度系数】
0.7

2. 已知$x = 1是关于x的方程3x^{3} - 2x^{2} + x - 4 + a = 0$的解,则$3a^{3} - 2a^{2} + a - 4$的值是( )

A.1
B.-1
C.16
D.14

D

【分析】
首先根据方程的解的定义，将已知解代入原方程可得到关于参数a的等式，求解得到a的值后，再将a代入所求代数式，按照有理数运算规则计算即可得到结果。
【解析】
1. 求参数a的值
因为x=1是方程$3x^{3} - 2x^{2} + x - 4 + a = 0$的解，将x=1代入方程，等式成立：
$3×1^3 - 2×1^2 +1 -4 +a=0$
计算化简得：$3-2+1-4+a=0$，即$-2+a=0$，解得$a=2$。
2. 计算目标代数式的值
将$a=2$代入$3a^{3} - 2a^{2} + a - 4$：
$3×2^3 -2×2^2 +2 -4$
$=3×8 -2×4 +2 -4$
$=24-8+2-4$
$=14$
【答案】D
【知识点】
方程的解的定义、代数式求值、有理数混合运算
【点评】
本题是基础计算类题型，核心是掌握方程的解的含义，先通过已知解求出未知参数，再代入代数式计算即可，计算时注意先算乘方，再算乘除，最后算加减，避免运算顺序错误。
【难度系数】
0.8

3. 下列运用等式的性质对等式进行的变形中,错误的是( )

A.若$m = n$,则$m + n = 2n$
B.若$m = n$,则$mn = n^{2}$
C.若$m = n$,则$\frac{m}{n} = 1$
D.若$m = n$,则$\frac{m}{n^{2} + 1} = \frac{n}{n^{2} + 1}$

C

【分析】
解题时首先要牢记等式的两条基本性质：1. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。解题时逐一分析每个选项的变形是否符合等式性质，尤其要注意做除法变形时，除数不能为0，据此找出错误的变形即可。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：已知$m = n$，等式两边同时加$n$，根据等式性质1，左边变为$m + n$，右边变为$n + n = 2n$，变形正确，不符合题意。
B选项：已知$m = n$，等式两边同时乘$n$，根据等式性质2，左边变为$m · n = mn$，右边变为$n · n = n^2$，变形正确，不符合题意。
C选项：已知$m = n$，若要变形得到$\frac{m}{n}=1$，需要等式两边同时除以$n$，但题目未说明$n ≠ 0$，当$n = 0$时，除数为0无意义，因此该变形错误，符合题意。
D选项：因为$n^2 ≥ 0$，所以$n^2 + 1 ≥ 1$，即$n^2 + 1$一定不为0，等式两边同时除以$n^2 + 1$，根据等式性质2可得$\frac{m}{n^2 + 1} = \frac{n}{n^2 + 1}$，变形正确，不符合题意。
综上，错误的变形是C选项。
【答案】
C
【知识点】
等式的基本性质；0不能作除数
【点评】
本题重点考查等式性质的应用，易错点是忽略等式两边同时除以一个数或式子时，必须保证除数不为0，遇到含除法的等式变形时要优先判断除数的取值是否合法。
【难度系数】
0.7

4. 利用等式的性质,说明由$\frac{1}{2}a - 1 = \frac{1}{2}b + 1如何通过变形得到a = b + 4$。

解:$\frac{1}{2}a-1=\frac{1}{2}b+1$,
等式两边同时乘2,得a-2=b+2.
等式两边同时加2,得a-2+2=b+2+2,
即a=b+4.

【分析】
我们的目标是将原式变形为$a = b + 4$的形式，首先观察原式带有分数系数$\frac{1}{2}$，优先考虑消去分母简化运算：先利用等式的性质2，给等式两边同时乘2，消去所有分数系数；再利用等式的性质1，给等式两边同时加2，消去左边的常数项，整理后即可得到目标式，变形过程中要注意等式两边必须同时进行相同的运算，避免漏乘等号两侧的常数项。
【解析】
解：已知$\frac{1}{2}a - 1 = \frac{1}{2}b + 1$，
根据等式的性质2，等式两边同时乘2，得：$a - 2 = b + 2$，
根据等式的性质1，等式两边同时加2，得：$a - 2 + 2 = b + 2 + 2$，
化简后即得$a = b + 4$。
【答案】
$\frac{1}{2}a-1=\frac{1}{2}b+1$,
等式两边同时乘2,得$a-2=b+2$.
等式两边同时加2,得$a-2+2=b+2+2$,
即$a=b+4$.
【知识点】
等式的性质1，等式的性质2
【点评】
本题是等式变形的基础题型，重点考察对等式性质的理解和运用，解题的易错点是给等式乘同一个数时，漏乘不含分母的常数项，需注意运算时等式左右每一项都要参与运算。
【难度系数】
0.9