20. （7 分）如图，已知四边形$ABCD$是平行四边形，$DE // AC$，交$BC$的延长线于点$E$，$EF ⊥ AB$于点$F$，求证：$AD = CF$.

解：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$AD = BC$。
又因为$DE// AC$，所以四边形$ACED$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
所以$AD = CE$（平行四边形的对边相等）。
因为$AD = BC$，$AD = CE$，所以$BC = CE$。
在$Rt△ BEF$中，$C$是$BE$中点（$BC = CE$），所以$CF=\frac{1}{2}BE$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
又因为$AD = BC$，$BC=\frac{1}{2}BE$（$BC = CE$），所以$AD = CF$。

21. （7 分）如图，矩形$ABCD$的两条对角线相交于点$O$，已知$∠ AOD = 120^{\circ}$，$AB = 3cm$，求矩形对角线的长.

21. 6 cm.

22. （8 分）如图，在正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，小明按下列要求画图：（1）在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；（2）连接三个格点，使之均构成直角三角形，并使三个网格中的直角三角形面积不相等.

网格一（面积=2）
取格点 $ A(3,3) $，$ B(2,2) $，$ C(4,0) $。
验证：$ x $ 坐标 3,2,4 互不相同，$ y $ 坐标 3,2,0 互不相同，任意两点不在同一条实线上。
向量 $ \overrightarrow{BA}=(1,1) $，$ \overrightarrow{BC}=(2,-2) $，$ \overrightarrow{BA} · \overrightarrow{BC}=1 × 2 + 1 × (-2)=0 $，为直角三角形。
面积：$ \frac{1}{2} × |1 × (-2) - 1 × 2| = \frac{1}{2} × 4 = 2 $。
网格二（面积=2.5）
取格点 $ A(0,0) $，$ B(1,2) $，$ C(3,1) $。
验证：$ x $ 坐标 0,1,3 互不相同，$ y $ 坐标 0,2,1 互不相同，任意两点不在同一条实线上。
向量 $ \overrightarrow{BA}=(-1,-2) $，$ \overrightarrow{BC}=(2,-1) $，$ \overrightarrow{BA} · \overrightarrow{BC}=(-1) × 2 + (-2) × (-1)=0 $，为直角三角形。
面积：$ \frac{1}{2} × |(-1) × (-1) - (-2) × 2| = \frac{1}{2} × 5 = 2.5 $。
网格三（面积=5）
取格点 $ A(2,4) $，$ B(1,1) $，$ C(4,2) $。
验证：$ x $ 坐标 2,1,4 互不相同，$ y $ 坐标 4,1,2 互不相同，任意两点不在同一条实线上。
向量 $ \overrightarrow{BA}=(1,3) $，$ \overrightarrow{BC}=(3,-1) $，$ \overrightarrow{BA} · \overrightarrow{BC}=1 × 3 + 3 × (-1)=0 $，为直角三角形。
面积：$ \frac{1}{2} × |1 × (-1) - 3 × 3| = \frac{1}{2} × 10 = 5 $。
结论：三个直角三角形面积分别为 2、2.5、5，满足题意。

23. （8 分）已知$y = \sqrt{1 - x} + \sqrt{x - 1} + 2$，求代数式$\sqrt{\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} + 2} - \sqrt{\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} - 2}$的值.

23. $\sqrt{2}$.

24. (8 分)如图，已知$AC ⊥ BC$，垂足为$C$，$AC = 4$，$BC = 3\sqrt{3}$，将线段$AC$绕点$A$按逆时针方向旋转$60^{\circ}$，得到线段$AD$，连接$DC$，$DB$.
(1)线段$DC =$；
(2)求线段$DB$的长度.

24. (1) 4. (2) $DB = \sqrt{17}$.