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11. 定义:有两组邻边(不重复)相等的四边形叫作“准菱形”.如图①,在四边形 $ABCD$ 中,若 $AB = AD$,$BC = DC$,则四边形 $ABCD$ 是“准菱形”.
(1) 如图,在正方形网格中(每个小正方形的边长为 $1$),点 $A$,$B$,$C$ 是格点,请在图②中画出“准菱形”$ABCD$(要求:$D$ 是格点).
(2) 如图③,在“准菱形”$ABCD$ 中,$AB = AD$,点 $E$,$F$,$G$,$H$ 分别是各边的中点,求证:四边形 $EFGH$ 是矩形.
(3) 如图④,在 $△ ABC$ 中,$∠ ABC = 90°$,以 $AC$ 为一边向外作“准菱形”$ACEF$,且 $AC = EC$,$AF = EF$,$AE$,$CF$ 交于点 $D$.
① 若 $DC = DF$,求证:“准菱形”$ACEF$ 是菱形.
② 在 ① 的条件下,连接 $BD$,若 $BD = \sqrt{2}$,$∠ ACB = 15°$,$∠ ACD = 30°$,请直接写出四边形 $ACEF$ 的面积.
(1) 如图,在正方形网格中(每个小正方形的边长为 $1$),点 $A$,$B$,$C$ 是格点,请在图②中画出“准菱形”$ABCD$(要求:$D$ 是格点).
(2) 如图③,在“准菱形”$ABCD$ 中,$AB = AD$,点 $E$,$F$,$G$,$H$ 分别是各边的中点,求证:四边形 $EFGH$ 是矩形.
(3) 如图④,在 $△ ABC$ 中,$∠ ABC = 90°$,以 $AC$ 为一边向外作“准菱形”$ACEF$,且 $AC = EC$,$AF = EF$,$AE$,$CF$ 交于点 $D$.
① 若 $DC = DF$,求证:“准菱形”$ACEF$ 是菱形.
② 在 ① 的条件下,连接 $BD$,若 $BD = \sqrt{2}$,$∠ ACB = 15°$,$∠ ACD = 30°$,请直接写出四边形 $ACEF$ 的面积.
答案
解：(1)如图所示
(2)连接AC，BD。
∵E，F 是AB，BC的中点
∴EF 是△ABC的中位线
∴EF//AC，$EF=\frac {1}{2}AC$
同理可得：HG//AC，$HG=\frac {1}{2}AC$，EH//BD
∴EF//HG，EF=HG
∴四边形EFGH是平行四边形
∵AD=AB，CD=CB
∴AC⊥BD
∵EF//AC，EH//BD
∴EF⊥EH
∴四边形EFGH是矩形
(3)①∵AC=EC，AF=EF
∴AD=DE，AE⊥CF
∵CD=DF
∴准菱形ACEF 是平行四边形
∵AE⊥CF，DF=CD
∴EF=EC
∴准菱形ACEF 是菱形
$②2\sqrt {3}$
