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2. 如图，$ AM $ 平分 $ ∠ BAC $，$ AM // EN $，则下列与 $ ∠ E $ 不相等的角为(
A.$ ∠ BAM $
B.$ ∠ ABC $
C.$ ∠ NDC $
D.$ ∠ MAC $
B
)A.$ ∠ BAM $
B.$ ∠ ABC $
C.$ ∠ NDC $
D.$ ∠ MAC $
答案
2. B
解析
【分析】
要找出与∠E不相等的角，我们可以结合平行线的性质和角平分线的定义，逐一分析每个选项：
1. 首先利用平行线的同位角相等，得到∠E与∠BAM的关系；
2. 再通过角平分线的定义，得到∠BAM与∠MAC的关系，进而推出∠E与∠MAC的关系；
3. 再次利用平行线的同位角相等，得到∠NDC与∠MAC的关系，从而推出∠NDC与∠E的关系；
4. 最后判断∠ABC与∠E是否存在等量关系，即可确定答案。
【解析】
1. 因为 $ AM // EN $，根据“两直线平行，同位角相等”，可得 $ ∠ E = ∠ BAM $，因此选项A不符合题意；
2. 因为 $ AM $ 平分 $ ∠ BAC $，根据角平分线的定义，可得 $ ∠ BAM = ∠ MAC $，结合 $ ∠ E = ∠ BAM $，可推出 $ ∠ E = ∠ MAC $，因此选项D不符合题意；
3. 因为 $ AM // EN $，根据“两直线平行，同位角相等”，可得 $ ∠ NDC = ∠ MAC $，结合 $ ∠ E = ∠ MAC $，可推出 $ ∠ NDC = ∠ E $，因此选项C不符合题意；
4. 观察图形可知，$ ∠ ABC $ 与 $ ∠ E $ 没有直接的等量关系，无法推出二者相等，因此选项B符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题主要考查平行线的性质与角平分线的定义的综合应用，解题关键是熟练掌握平行线的同位角相等这一性质，以及角平分线分角为两个相等角的定义，通过逐步推导角的等量关系，利用排除法确定正确选项。
【难度系数】
0.7
要找出与∠E不相等的角，我们可以结合平行线的性质和角平分线的定义，逐一分析每个选项：
1. 首先利用平行线的同位角相等，得到∠E与∠BAM的关系；
2. 再通过角平分线的定义，得到∠BAM与∠MAC的关系，进而推出∠E与∠MAC的关系；
3. 再次利用平行线的同位角相等，得到∠NDC与∠MAC的关系，从而推出∠NDC与∠E的关系；
4. 最后判断∠ABC与∠E是否存在等量关系，即可确定答案。
【解析】
1. 因为 $ AM // EN $，根据“两直线平行，同位角相等”，可得 $ ∠ E = ∠ BAM $，因此选项A不符合题意；
2. 因为 $ AM $ 平分 $ ∠ BAC $，根据角平分线的定义，可得 $ ∠ BAM = ∠ MAC $，结合 $ ∠ E = ∠ BAM $，可推出 $ ∠ E = ∠ MAC $，因此选项D不符合题意；
3. 因为 $ AM // EN $，根据“两直线平行，同位角相等”，可得 $ ∠ NDC = ∠ MAC $，结合 $ ∠ E = ∠ MAC $，可推出 $ ∠ NDC = ∠ E $，因此选项C不符合题意；
4. 观察图形可知，$ ∠ ABC $ 与 $ ∠ E $ 没有直接的等量关系，无法推出二者相等，因此选项B符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题主要考查平行线的性质与角平分线的定义的综合应用，解题关键是熟练掌握平行线的同位角相等这一性质，以及角平分线分角为两个相等角的定义，通过逐步推导角的等量关系，利用排除法确定正确选项。
【难度系数】
0.7
3. 已知 ，，，则 (
A.$ n° $
B.$ 2n° $
C.$ 90° - n° $
D.$ 40° $
A
)A.$ n° $
B.$ 2n° $
C.$ 90° - n° $
D.$ 40° $
答案
3. A
解析
【分析】
首先，题目给出$AB // CD$、$∠1=∠2$和$∠ E=n°$，要求$∠ F$的度数。我们可以先利用平行线的性质得到$∠ ABC=∠ BCD$，再结合$∠1=∠2$推出$∠ EBC=∠ FCB$，从而证明$BE // CF$，最后根据平行线的性质得出$∠ E$和$∠ F$相等，进而求出$∠ F$的度数。
【解析】
1. 因为$AB // CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ ABC = ∠ BCD$。
2. 已知$∠ 1 = ∠ 2$，所以$∠ ABC - ∠ 1 = ∠ BCD - ∠ 2$，即$∠ EBC = ∠ FCB$。
3. 根据“内错角相等，两直线平行”，由$∠ EBC = ∠ FCB$可推出$BE // CF$。
4. 再根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ E = ∠ F$。
5. 因为$∠ E = n°$，所以$∠ F = n°$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线的判定与性质
【点评】
本题主要考查平行线的判定与性质的综合运用，解题关键是通过角的等量关系推导出直线平行，再利用平行线的性质得到角的等量关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
首先，题目给出$AB // CD$、$∠1=∠2$和$∠ E=n°$，要求$∠ F$的度数。我们可以先利用平行线的性质得到$∠ ABC=∠ BCD$，再结合$∠1=∠2$推出$∠ EBC=∠ FCB$，从而证明$BE // CF$，最后根据平行线的性质得出$∠ E$和$∠ F$相等，进而求出$∠ F$的度数。
【解析】
1. 因为$AB // CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ ABC = ∠ BCD$。
2. 已知$∠ 1 = ∠ 2$，所以$∠ ABC - ∠ 1 = ∠ BCD - ∠ 2$，即$∠ EBC = ∠ FCB$。
3. 根据“内错角相等，两直线平行”，由$∠ EBC = ∠ FCB$可推出$BE // CF$。
4. 再根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ E = ∠ F$。
5. 因为$∠ E = n°$，所以$∠ F = n°$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线的判定与性质
【点评】
本题主要考查平行线的判定与性质的综合运用，解题关键是通过角的等量关系推导出直线平行，再利用平行线的性质得到角的等量关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图，$ ∠ 1 = ∠ 2 $，若要 $ ∠ 3 = ∠ 4 $，则需要的条件可以是
AB//CD
。答案
4. AB//CD
解析
【分析】
要使$∠3=∠4$，结合已知$∠1=∠2$，可考虑让$∠1+∠3=∠2+∠4$（即$∠BAD=∠CDA$）。我们可以从结论倒推：若$∠3=∠4$，则$∠BAD=∠1+∠3$，$∠CDA=∠2+∠4$，结合$∠1=∠2$，就需要$∠BAD=∠CDA$；而根据平行线的性质，当$AB// CD$时，内错角$∠BAD$和$∠CDA$相等，由此就能推出$∠3=∠4$。
【解析】
当添加条件$AB// CD$时，推导如下：
因为$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠BAD=∠CDA$。
又已知$∠1=∠2$，所以$∠BAD - ∠1 = ∠CDA - ∠2$，即$∠3=∠4$。
【答案】
$AB// CD$
【知识点】
平行线的性质与判定
【点评】
本题考查平行线的性质与判定的综合运用，解题关键是通过角的和差关系，结合平行线的定理建立已知角与目标角的联系，锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要使$∠3=∠4$，结合已知$∠1=∠2$，可考虑让$∠1+∠3=∠2+∠4$（即$∠BAD=∠CDA$）。我们可以从结论倒推：若$∠3=∠4$，则$∠BAD=∠1+∠3$，$∠CDA=∠2+∠4$，结合$∠1=∠2$，就需要$∠BAD=∠CDA$；而根据平行线的性质，当$AB// CD$时，内错角$∠BAD$和$∠CDA$相等，由此就能推出$∠3=∠4$。
【解析】
当添加条件$AB// CD$时，推导如下：
因为$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠BAD=∠CDA$。
又已知$∠1=∠2$，所以$∠BAD - ∠1 = ∠CDA - ∠2$，即$∠3=∠4$。
【答案】
$AB// CD$
【知识点】
平行线的性质与判定
【点评】
本题考查平行线的性质与判定的综合运用，解题关键是通过角的和差关系，结合平行线的定理建立已知角与目标角的联系，锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图，一束平行光线 与 射向一个水平镜面后被反射，此时 ，，则反射光线 与 的关系是
平行
。答案
5. 平行
解析
【分析】
要判断反射光线BC与EF的关系，可先利用平行光线AB//DE的性质得到角的关系，再结合反射角等于入射角的条件（∠1=∠2，∠3=∠4），通过等量代换得到判定BC和EF平行的角的条件，最后根据平行线的判定定理得出结论。具体思路：由AB//DE得出∠1=∠3，结合已知∠1=∠2、∠3=∠4，推出∠2=∠4，再根据同位角相等，两直线平行，即可判断BC与EF平行。
【解析】
已知AB//DE（平行光线），根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠1=∠3。
又因为∠1=∠2，∠3=∠4（题目给定反射角等于入射角），通过等量代换，可得∠2=∠4。
根据“同位角相等，两直线平行”，可得出BC//EF。
【答案】
平行
【知识点】
平行线的性质、平行线的判定、等量代换
【点评】
本题考查平行线的性质与判定的综合应用，解题关键是理清已知角之间的关系，通过平行线的性质得到角相等，结合反射角条件进行等量代换，最终利用平行线判定定理得出结论，需要学生熟练掌握相关定理并灵活运用等量代换进行角的转化。
【难度系数】
0.7
要判断反射光线BC与EF的关系，可先利用平行光线AB//DE的性质得到角的关系，再结合反射角等于入射角的条件（∠1=∠2，∠3=∠4），通过等量代换得到判定BC和EF平行的角的条件，最后根据平行线的判定定理得出结论。具体思路：由AB//DE得出∠1=∠3，结合已知∠1=∠2、∠3=∠4，推出∠2=∠4，再根据同位角相等，两直线平行，即可判断BC与EF平行。
【解析】
已知AB//DE（平行光线），根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠1=∠3。
又因为∠1=∠2，∠3=∠4（题目给定反射角等于入射角），通过等量代换，可得∠2=∠4。
根据“同位角相等，两直线平行”，可得出BC//EF。
【答案】
平行
【知识点】
平行线的性质、平行线的判定、等量代换
【点评】
本题考查平行线的性质与判定的综合应用，解题关键是理清已知角之间的关系，通过平行线的性质得到角相等，结合反射角条件进行等量代换，最终利用平行线判定定理得出结论，需要学生熟练掌握相关定理并灵活运用等量代换进行角的转化。
【难度系数】
0.7
6. 完成下列说理：如图，已知 $ AD ⊥ BC $，$ EF ⊥ BC $，$ ∠ 1 = ∠ 2 $，说明：$ DG // BA $。
因为 $ AD ⊥ BC $，$ EF ⊥ BC $（已知），
所以 $ ∠ EFB = 90° $，$ ∠ ADB = 90° $（ ），所以 $ ∠ EFB = ∠ ADB $（等量代换），
所以 $ EF // AD$$$（ ），
所以 $ ∠ 1 = ∠ BAD$$$（ ），
又因为 $ ∠ 1 = ∠ 2 $（已知），
所以（ ）（等量代换）。
所以 $ DG // BA $（ ）。
因为 $ AD ⊥ BC $，$ EF ⊥ BC $（已知），
所以 $ ∠ EFB = 90° $，$ ∠ ADB = 90° $（ ），所以 $ ∠ EFB = ∠ ADB $（等量代换），
所以 $ EF // AD$$$（ ），
所以 $ ∠ 1 = ∠ BAD$$$（ ），
又因为 $ ∠ 1 = ∠ 2 $（已知），
所以（ ）（等量代换）。
所以 $ DG // BA $（ ）。
答案
6. 垂直的定义 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 ∠2=∠BAD 内错角相等，两直线平行
解析
【分析】
要说明$DG// BA$，我们可以先通过垂直的定义得到相等的角，进而判定$EF// AD$，再利用平行线的性质得到角的关系，结合已知条件通过等量代换得到内错角相等，最终证明平行。具体思路如下：
1. 由$AD⊥BC$，$EF⊥BC$，根据垂直的定义得出两个直角，进而得到同位角相等，判定$EF// AD$；
2. 根据平行线的性质，由$EF// AD$推出$∠1=∠BAD$；
3. 结合已知$∠1=∠2$，通过等量代换得到$∠2=∠BAD$；
4. 最后根据内错角相等，两直线平行，证明$DG// BA$。
【解析】
因为 $ AD ⊥ BC $，$ EF ⊥ BC $（已知），
所以 $ ∠ EFB = 90° $，$ ∠ ADB = 90° $（垂直的定义），所以 $ ∠ EFB = ∠ ADB $（等量代换），
所以 $ EF // AD$（同位角相等，两直线平行），
所以 $ ∠ 1 = ∠ BAD$（两直线平行，同位角相等），
又因为 $ ∠ 1 = ∠ 2 $（已知），
所以（$∠2=∠BAD$）（等量代换）。
所以 $ DG // BA $（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；$\boldsymbol{∠2=∠BAD}$；内错角相等，两直线平行
【知识点】
垂直的定义、平行线的判定、平行线的性质
【点评】
本题是平行线判定与性质的综合应用，属于几何基础题型，需要熟练掌握垂直的定义，以及平行线的判定定理和性质定理，通过逐步推导角的关系完成平行证明，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要说明$DG// BA$，我们可以先通过垂直的定义得到相等的角，进而判定$EF// AD$，再利用平行线的性质得到角的关系，结合已知条件通过等量代换得到内错角相等，最终证明平行。具体思路如下：
1. 由$AD⊥BC$，$EF⊥BC$，根据垂直的定义得出两个直角，进而得到同位角相等，判定$EF// AD$；
2. 根据平行线的性质，由$EF// AD$推出$∠1=∠BAD$；
3. 结合已知$∠1=∠2$，通过等量代换得到$∠2=∠BAD$；
4. 最后根据内错角相等，两直线平行，证明$DG// BA$。
【解析】
因为 $ AD ⊥ BC $，$ EF ⊥ BC $（已知），
所以 $ ∠ EFB = 90° $，$ ∠ ADB = 90° $（垂直的定义），所以 $ ∠ EFB = ∠ ADB $（等量代换），
所以 $ EF // AD$（同位角相等，两直线平行），
所以 $ ∠ 1 = ∠ BAD$（两直线平行，同位角相等），
又因为 $ ∠ 1 = ∠ 2 $（已知），
所以（$∠2=∠BAD$）（等量代换）。
所以 $ DG // BA $（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；$\boldsymbol{∠2=∠BAD}$；内错角相等，两直线平行
【知识点】
垂直的定义、平行线的判定、平行线的性质
【点评】
本题是平行线判定与性质的综合应用，属于几何基础题型，需要熟练掌握垂直的定义，以及平行线的判定定理和性质定理，通过逐步推导角的关系完成平行证明，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
7. 如图，$ B $ 处在 $ A $ 处的南偏西 $ 45° $ 方向，$ C $ 处在 $ B $ 处的北偏东 $ 80° $ 方向。
（1）求 $ ∠ ABC $。
（2）要使 $ CD // AB $，$ D $ 处应在 $ C $ 处的什么方向？
（1）求 $ ∠ ABC $。
（2）要使 $ CD // AB $，$ D $ 处应在 $ C $ 处的什么方向？
答案
7. 解：(1)由题意得
∠FAB=45°，∠EBC=80°
因为AF//BE，
所以∠FAB=∠ABE=45°，
因为∠EBC=80°，
所以∠ABC=35°.
(2)D在C的南偏西45°，
因为CG//BE，
所以∠GCB=∠EBC=80°.
因为∠GCD=45°，
所以∠BCD=35°，
所以∠ABC=∠BCD=35°，
所以CD//AB.
∠FAB=45°，∠EBC=80°
因为AF//BE，
所以∠FAB=∠ABE=45°，
因为∠EBC=80°，
所以∠ABC=35°.
(2)D在C的南偏西45°，
因为CG//BE，
所以∠GCB=∠EBC=80°.
因为∠GCD=45°，
所以∠BCD=35°，
所以∠ABC=∠BCD=35°，
所以CD//AB.
解析
【分析】
（1）要求∠ABC，首先观察图形，AF和BE都是南北方向，所以AF//BE，根据平行线的内错角相等，可得∠ABE=∠FAB=45°，再结合已知∠EBC=80°，用∠EBC减去∠ABE就能得到∠ABC的度数。
（2）要使CD//AB，根据平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行），需要∠BCD=∠ABC=35°。因为CG是南北方向，CG//BE，所以∠GCB=∠EBC=80°，由此可算出∠GCD=∠GCB - ∠BCD=45°，即D处应在C处的南偏西45°方向。
【解析】
(1) 由题意可知：
∠FAB = 45°，∠EBC = 80°
因为AF与BE均为南北方向，所以$AF// BE$，
根据平行线的内错角相等，可得$∠ FAB = ∠ ABE = 45°$，
又因为$∠ EBC = 80°$，
所以$∠ ABC = ∠ EBC - ∠ ABE = 80° - 45° = 35°$。
(2) 当D处在C处的南偏西45°方向时，$CD// AB$，理由如下：
因为CG与BE均为南北方向，所以$CG// BE$，
根据平行线的内错角相等，可得$∠ GCB = ∠ EBC = 80°$，
已知$∠ GCD = 45°$，
则$∠ BCD = ∠ GCB - ∠ GCD = 80° - 45° = 35°$，
又因为$∠ ABC = 35°$，所以$∠ ABC = ∠ BCD$，
根据内错角相等，两直线平行，可得$CD// AB$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ABC=35°}$；
(2) $\boldsymbol{D}$处在$\boldsymbol{C}$处的$\boldsymbol{南偏西45°}$方向。
【知识点】
平行线的性质与判定，方向角的应用
【点评】
本题主要考查方向角的概念以及平行线的性质与判定的综合应用，解题的关键是利用南北方向的直线互相平行这一隐含条件，结合平行线的相关定理推导角度关系，需要学生具备一定的图形观察和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
（1）要求∠ABC，首先观察图形，AF和BE都是南北方向，所以AF//BE，根据平行线的内错角相等，可得∠ABE=∠FAB=45°，再结合已知∠EBC=80°，用∠EBC减去∠ABE就能得到∠ABC的度数。
（2）要使CD//AB，根据平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行），需要∠BCD=∠ABC=35°。因为CG是南北方向，CG//BE，所以∠GCB=∠EBC=80°，由此可算出∠GCD=∠GCB - ∠BCD=45°，即D处应在C处的南偏西45°方向。
【解析】
(1) 由题意可知：
∠FAB = 45°，∠EBC = 80°
因为AF与BE均为南北方向，所以$AF// BE$，
根据平行线的内错角相等，可得$∠ FAB = ∠ ABE = 45°$，
又因为$∠ EBC = 80°$，
所以$∠ ABC = ∠ EBC - ∠ ABE = 80° - 45° = 35°$。
(2) 当D处在C处的南偏西45°方向时，$CD// AB$，理由如下：
因为CG与BE均为南北方向，所以$CG// BE$，
根据平行线的内错角相等，可得$∠ GCB = ∠ EBC = 80°$，
已知$∠ GCD = 45°$，
则$∠ BCD = ∠ GCB - ∠ GCD = 80° - 45° = 35°$，
又因为$∠ ABC = 35°$，所以$∠ ABC = ∠ BCD$，
根据内错角相等，两直线平行，可得$CD// AB$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ABC=35°}$；
(2) $\boldsymbol{D}$处在$\boldsymbol{C}$处的$\boldsymbol{南偏西45°}$方向。
【知识点】
平行线的性质与判定，方向角的应用
【点评】
本题主要考查方向角的概念以及平行线的性质与判定的综合应用，解题的关键是利用南北方向的直线互相平行这一隐含条件，结合平行线的相关定理推导角度关系，需要学生具备一定的图形观察和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
1. 如图是潜望镜工作原理示意图，$ AB $ 和 $ CD $ 是平行放置在潜望镜里的两面镜子，已知光线经过镜子反射时，有 $ ∠ 1 = ∠ 2 $，$ ∠ 3 = ∠ 4 $，请解释进入潜望镜的光线 $ l $ 为什么和离开潜望镜的光线 $ m $ 是平行的。
答案
1. 解：因为AB//CD，所以∠2=∠3
因为∠1=∠2，∠3=∠4
所以∠1=∠2=∠3=∠4
所以180°−∠1−∠2=180°−∠3−∠4
即∠5=∠6 所以l//M.
因为∠1=∠2，∠3=∠4
所以∠1=∠2=∠3=∠4
所以180°−∠1−∠2=180°−∠3−∠4
即∠5=∠6 所以l//M.
解析
【分析】
要证明进入潜望镜的光线$ l $和离开的光线$ m $平行，需依据平行线的判定定理，寻找能证明两直线平行的角的关系。首先利用已知的$ AB // CD $，结合平行线的性质得到$ ∠2=∠3 $；再根据光线反射的条件$ ∠1=∠2 $、$ ∠3=∠4 $，通过等量代换得到$ ∠1=∠2=∠3=∠4 $；最后通过平角的计算，推出$ ∠5=∠6 $，利用“内错角相等，两直线平行”即可证明$ l // m $。
【解析】
因为$ AB // CD $，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$ ∠2=∠3 $。
又因为光线反射时$ ∠1=∠2 $，$ ∠3=∠4 $，所以通过等量代换可得$ ∠1=∠2=∠3=∠4 $。
根据平角的定义，$ ∠5=180°-∠1-∠2 $，$ ∠6=180°-∠3-∠4 $，
将$ ∠1=∠2=∠3=∠4 $代入可得：$ 180°-∠1-∠2=180°-∠3-∠4 $，即$ ∠5=∠6 $。
根据“内错角相等，两直线平行”，可得出$ l // m $。
【答案】
进入潜望镜的光线$ l $和离开潜望镜的光线$ m $是平行的，理由如上。
【知识点】
平行线的判定与性质；等量代换
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合应用，解题关键是结合光线反射的角相等条件，通过平行线的性质和等量代换找到能证明$ l // m $的内错角，理清角之间的等量关系是解题的核心。
【难度系数】
0.8
要证明进入潜望镜的光线$ l $和离开的光线$ m $平行，需依据平行线的判定定理，寻找能证明两直线平行的角的关系。首先利用已知的$ AB // CD $，结合平行线的性质得到$ ∠2=∠3 $；再根据光线反射的条件$ ∠1=∠2 $、$ ∠3=∠4 $，通过等量代换得到$ ∠1=∠2=∠3=∠4 $；最后通过平角的计算，推出$ ∠5=∠6 $，利用“内错角相等，两直线平行”即可证明$ l // m $。
【解析】
因为$ AB // CD $，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$ ∠2=∠3 $。
又因为光线反射时$ ∠1=∠2 $，$ ∠3=∠4 $，所以通过等量代换可得$ ∠1=∠2=∠3=∠4 $。
根据平角的定义，$ ∠5=180°-∠1-∠2 $，$ ∠6=180°-∠3-∠4 $，
将$ ∠1=∠2=∠3=∠4 $代入可得：$ 180°-∠1-∠2=180°-∠3-∠4 $，即$ ∠5=∠6 $。
根据“内错角相等，两直线平行”，可得出$ l // m $。
【答案】
进入潜望镜的光线$ l $和离开潜望镜的光线$ m $是平行的，理由如上。
【知识点】
平行线的判定与性质；等量代换
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合应用，解题关键是结合光线反射的角相等条件，通过平行线的性质和等量代换找到能证明$ l // m $的内错角，理清角之间的等量关系是解题的核心。
【难度系数】
0.8
2. 如图，$ EF // AD $，$ ∠ 1 = ∠ 2 $，$ ∠ BAC = 70° $，求 $ ∠ AGD $ 的度数。
答案
2. 解：因为EF//AD
所以∠2=∠3(两直线平行，同位角相等)
因为∠1=∠2
所以∠1=∠3(等量代换)
所以DG//AB(内错角相等，两直线平行)
所以∠BAC+∠AGD=180°(两直线平行，同旁内角互补)
因为∠BAC=70°，
所以∠AGD=110°.
所以∠2=∠3(两直线平行，同位角相等)
因为∠1=∠2
所以∠1=∠3(等量代换)
所以DG//AB(内错角相等，两直线平行)
所以∠BAC+∠AGD=180°(两直线平行，同旁内角互补)
因为∠BAC=70°，
所以∠AGD=110°.
解析
【分析】
首先从已知的平行线条件$EF// AD$出发，根据平行线的性质可得到同位角相等，即$∠ 2=∠ 3$；再结合已知$∠ 1=∠ 2$，通过等量代换得到$∠ 1=∠ 3$，这满足内错角相等的条件，由此可判定$DG// AB$；最后利用平行线同旁内角互补的性质，结合$∠ BAC$的度数，就能求出$∠ AGD$的度数。整个思路是先由平行得角的关系，再通过角的关系判定新的平行，最后用平行的性质求角度。
【解析】
解：因为$EF // AD$，
所以$∠ 2 = ∠ 3$（两直线平行，同位角相等）。
因为$∠ 1 = ∠ 2$，
所以$∠ 1 = ∠ 3$（等量代换）。
所以$DG // AB$（内错角相等，两直线平行）。
所以$∠ BAC + ∠ AGD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
因为$∠ BAC = 70°$，
所以$∠ AGD = 180° - 70° = 110°$。
【答案】
$\boldsymbol{110°}$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题是平行线判定与性质的综合应用，解题关键是熟练掌握“由平行得角的关系”和“由角的关系得平行”的转化逻辑，理清角之间的等量关系是解题核心。
【难度系数】
0.7
首先从已知的平行线条件$EF// AD$出发，根据平行线的性质可得到同位角相等，即$∠ 2=∠ 3$；再结合已知$∠ 1=∠ 2$，通过等量代换得到$∠ 1=∠ 3$，这满足内错角相等的条件，由此可判定$DG// AB$；最后利用平行线同旁内角互补的性质，结合$∠ BAC$的度数，就能求出$∠ AGD$的度数。整个思路是先由平行得角的关系，再通过角的关系判定新的平行，最后用平行的性质求角度。
【解析】
解：因为$EF // AD$，
所以$∠ 2 = ∠ 3$（两直线平行，同位角相等）。
因为$∠ 1 = ∠ 2$，
所以$∠ 1 = ∠ 3$（等量代换）。
所以$DG // AB$（内错角相等，两直线平行）。
所以$∠ BAC + ∠ AGD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
因为$∠ BAC = 70°$，
所以$∠ AGD = 180° - 70° = 110°$。
【答案】
$\boldsymbol{110°}$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题是平行线判定与性质的综合应用，解题关键是熟练掌握“由平行得角的关系”和“由角的关系得平行”的转化逻辑，理清角之间的等量关系是解题核心。
【难度系数】
0.7
3. 如图所示，$ ∠ ABC = ∠ ACB $，$ BD $ 平分 $ ∠ ABC $，$ CE $ 平分 $ ∠ ACB $，$ ∠ DBF = ∠ F $，问 $ CE $ 与 $ DF $ 的位置关系？试说明理由。
答案
3. 解：CE//DF，理由如下：
因为BD平分∠ABC，
CE平分∠ACB，
所以∠DBF=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB.
因为∠ABC=∠ACB，
所以∠DBF=∠ECB，
因为∠DBF=∠F，
所以∠ECB=∠F，
所以CE//DF.
因为BD平分∠ABC，
CE平分∠ACB，
所以∠DBF=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB.
因为∠ABC=∠ACB，
所以∠DBF=∠ECB，
因为∠DBF=∠F，
所以∠ECB=∠F，
所以CE//DF.
解析
【分析】
要判断CE与DF的位置关系，优先考虑平行线的判定定理。已知∠ABC=∠ACB，BD、CE分别为这两个角的平分线，可先根据角平分线的定义推导∠DBF与∠ECB的关系；再结合已知∠DBF=∠F，通过等量代换得到同位角相等，最后依据“同位角相等，两直线平行”判定CE与DF平行。具体思考步骤：
1. 根据角平分线定义，将∠DBF、∠ECB分别表示为∠ABC、∠ACB的一半；
2. 结合∠ABC=∠ACB，推出∠DBF=∠ECB；
3. 结合∠DBF=∠F，得到∠ECB=∠F，这是一组同位角，从而判定两直线平行。
【解析】
$CE// DF$，理由如下：
因为$BD$平分$∠ ABC$，$CE$平分$∠ ACB$，
所以$∠ DBF=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ECB=\frac{1}{2}∠ ACB$（角平分线的定义）。
又因为$∠ ABC=∠ ACB$，
所以$∠ DBF=∠ ECB$（等式的性质）。
因为$∠ DBF=∠ F$，
所以$∠ ECB=∠ F$（等量代换）。
所以$CE// DF$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
$CE// DF$
【知识点】
角平分线的定义、平行线的判定
【点评】
本题主要考查角平分线的定义与平行线判定定理的综合运用，解题关键是通过角的等量代换找到能判定平行线的同位角，需要熟练掌握相关定理并灵活转化角的关系。
【难度系数】
0.7
要判断CE与DF的位置关系，优先考虑平行线的判定定理。已知∠ABC=∠ACB，BD、CE分别为这两个角的平分线，可先根据角平分线的定义推导∠DBF与∠ECB的关系；再结合已知∠DBF=∠F，通过等量代换得到同位角相等，最后依据“同位角相等，两直线平行”判定CE与DF平行。具体思考步骤：
1. 根据角平分线定义，将∠DBF、∠ECB分别表示为∠ABC、∠ACB的一半；
2. 结合∠ABC=∠ACB，推出∠DBF=∠ECB；
3. 结合∠DBF=∠F，得到∠ECB=∠F，这是一组同位角，从而判定两直线平行。
【解析】
$CE// DF$，理由如下：
因为$BD$平分$∠ ABC$，$CE$平分$∠ ACB$，
所以$∠ DBF=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ECB=\frac{1}{2}∠ ACB$（角平分线的定义）。
又因为$∠ ABC=∠ ACB$，
所以$∠ DBF=∠ ECB$（等式的性质）。
因为$∠ DBF=∠ F$，
所以$∠ ECB=∠ F$（等量代换）。
所以$CE// DF$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
$CE// DF$
【知识点】
角平分线的定义、平行线的判定
【点评】
本题主要考查角平分线的定义与平行线判定定理的综合运用，解题关键是通过角的等量代换找到能判定平行线的同位角，需要熟练掌握相关定理并灵活转化角的关系。
【难度系数】
0.7
