三、求下面立体图形的表面积和体积。(单位:dm，结果用含π的式子表示)

1. 表面积：$10×10×2+π×2×10×10÷4+π×10^{2}÷4×2=100π+200(dm^{2})$
体积：$π×10^{2}×10÷4=250π(dm^{3})$
解析 题图是一个$\frac {1}{4}$圆柱，它的表面积由两个正方形的面积、圆柱侧面积的$\frac {1}{4}$和两个$\frac {1}{4}$圆的面积组成。它的体积就是完整圆柱的体积的$\frac {1}{4}$。
2. 表面积：$π×(12÷2)^{2}×2+12π×4+6π×1=126π(dm^{2})$
体积：$π×(12÷2)^{2}×4 - π×(6÷2)^{2}×1=135π(dm^{3})$
解析 题图的表面积可以看作一个完整大圆柱的表面积与一个小圆柱的侧面积的和。体积可以看作大圆柱的体积减去小圆柱的体积。

明明和欣欣分别以下面的方式将同一个直角梯形旋转一周，得到了两个立体图形。

1. 你同意谁的说法？请把名字填在括号里。()
2. 甲、乙两个立体图形的体积比是多少？

步骤1：确定直角梯形的参数 直角梯形的上底$a=3\,\mathrm{cm}$，下底$b=4\,\mathrm{cm}$，直角腰（高）$h=3\,\mathrm{cm}$。 步骤2：计算甲的体积（绕直角腰旋转） 甲是绕直角腰（高$h=3\,\mathrm{cm}$）旋转，形成的立体图形为大圆柱减去小圆锥： 大圆柱：半径$r_1=b=4\,\mathrm{cm}$，高$h=3\,\mathrm{cm}$，体积$V_{\mathrm{圆柱}}=π r_1^2 h=π×4^2×3=48π\,\mathrm{cm}^3$。 小圆锥：半径$r_2=b-a=1\,\mathrm{cm}$，高$h=3\,\mathrm{cm}$，体积$V_{\mathrm{圆锥}}=\frac{1}{3}π r_2^2 h=\frac{1}{3}π×1^2×3=π\,\mathrm{cm}^3$。 甲体积：$V_{\mathrm{甲}}=V_{\mathrm{圆柱}}-V_{\mathrm{圆锥}}=48π-π=47π\,\mathrm{cm}^3$。 步骤3：计算乙的体积（绕上底旋转） 乙是绕上底（$a=3\,\mathrm{cm}$）旋转，形成的立体图形为圆柱加上小圆锥： 圆柱：半径$r=h=3\,\mathrm{cm}$，高$a=3\,\mathrm{cm}$，体积$V_{\mathrm{圆柱}}=π r^2 a=π×3^2×3=27π\,\mathrm{cm}^3$。 小圆锥：半径$r_2=b-a=1\,\mathrm{cm}$，高$h=3\,\mathrm{cm}$，体积$V_{\mathrm{圆锥}}=\frac{1}{3}π r_2^2 h=\frac{1}{3}π×1^2×3=π\,\mathrm{cm}^3$。 乙体积：$V_{\mathrm{乙}}=V_{\mathrm{圆柱}}+V_{\mathrm{圆锥}}=27π+π=28π\,\mathrm{cm}^3$。 结论 $V_{\mathrm{甲}}=47π\,\mathrm{cm}^3$，$V_{\mathrm{乙}}=28π\,\mathrm{cm}^3$，甲、乙体积不相等。 欣欣的看法正确。
@@1. 欣欣解析 甲的体积=高为4 cm的圆柱的体积 - 高为$(4 - 3)cm$的圆锥的体积=$π×3^{2}×4-\frac {1}{3}×π×3^{2}×(4 - 3)=33π(cm^{3})$。乙的体积=高为3 cm的圆柱的体积 + 高为$(4 - 3)cm$的圆锥的体积=$π×3^{2}×3+\frac {1}{3}×π×3^{2}×(4 - 3)=30π(cm^{3})$。显然，甲和乙的体积不相等。
@@2. $π×3^{2}×4-\frac {1}{3}×π×3^{2}×(4 - 3)=33π(cm^{3})$$π×3^{2}×3+\frac {1}{3}×π×3^{2}×(4 - 3)=30π(cm^{3})$$33π:30π=11:10$答：甲、乙两个立体图形的体积比是$11:10$。解析 先分别求出甲和乙的体积，再写出体积比并化简。

1. 某卫生纸厂主要生产一种底面半径为 4 cm、高为 10 cm 的圆柱形卷纸。
(1)用透明塑料将一卷卷纸整个包装起来，至少需要多少平方厘米的透明塑料？(接头处忽略不计)

(2)如下图，一个纸箱装 2 层正好可以装 24 卷这种卷纸，做这个纸箱至少需要多少平方厘米的硬纸板？(硬纸板厚度、接头处忽略不计)

1. (1)$3.14×4^{2}×2+2×3.14×4×10=351.68(cm^{2})$
答：至少需要$351.68cm^{2}$的透明塑料。
解析 需要透明塑料的面积就是圆柱的表面积，圆柱表面积=底面积$×2 +$侧面积$=π×$底面半径$^{2}×2+2×π×$底面半径×高。
(2)长：$4×2×4 = 32(cm)$ 宽：$4×2×3 = 24(cm)$
高：$10×2 = 20(cm)$
$(32×24+32×20+24×20)×2=3776(cm^{2})$
答：做这个纸箱至少需要$3776cm^{2}$的硬纸板。
解析 纸箱长=卷纸底面半径$×2×4$，纸箱宽=卷纸底面半径$×2×3$，纸箱高=卷纸高度$×2$，求需要硬纸板的面积即求长方体纸箱的表面积。