24.（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线$y=ax+b-4$与抛物线$y=x^{2}-2ax+a^{2}+b$相交于 A，B 两点，其中点 A 在点 B 的左侧，$C(x_{1},y_{1})$是抛物线上的一个动点.
（1）若$a=b=4$，求点 A 的坐标；
（2）若 A 恰好为抛物线的顶点，在抛物线上另取一点$D(x_{2},y_{2})$，当$x_{1}+x_{2}=4$时，试比较$y_{1}$与$y_{2}$的大小，并说明理由；
（3）若点 A 的横坐标为 4，当$9＜x_{1}＜m$时，$b≤ y_{1}＜6$，求 b 的取值范围.

（1）$(2, 8)$；（2）$y_1 = y_2$；（3）$b = 5$。

（1）当$a = b = 4$时，直线方程为$y = 4x$，抛物线方程为$y = x^2 - 8x + 20$。联立得$4x = x^2 - 8x + 20$，即$x^2 - 12x + 20 = 0$，解得$x = 2$或$x = 10$。因为点$A$在点$B$左侧，所以点$A$的坐标为$(2, 8)$。
（2）抛物线$y = (x - a)^2 + b$的顶点为$(a, b)$。因为$A$为顶点且在直线上，代入直线方程得$b = a · a + b - 4$，即$a^2 = 4$，$a = \pm 2$。又$A$在$B$左侧，方程$x^2 - 3ax + a^2 + 4 = 0$的两根为$x = a$和$x = 2a$，当$a = 2$时，$x = 2$和$x = 4$（符合$A$在左）；当$a = -2$时，$x = -4$和$x = -2$（顶点为$B$，舍去）。故$a = 2$，抛物线为$y = (x - 2)^2 + b$。$y_1 - y_2 = (x_1 - 2)^2 - (x_2 - 2)^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 4)$，因为$x_1 + x_2 = 4$，所以$y_1 - y_2 = 0$，即$y_1 = y_2$。
（3）联立直线与抛物线得$x^2 - 3ax + a^2 + 4 = 0$，点$A$横坐标为$4$，代入得$16 - 12a + a^2 + 4 = 0$，即$a^2 - 12a + 20 = 0$，解得$a = 10$或$a = 2$。$A$在$B$左侧，$x_B = 3a - 4$，当$a = 10$时，$x_B = 26$（符合）；$a = 2$时，$x_B = 2$（舍去）。抛物线为$y = (x - 10)^2 + b$，顶点$(10, b)$。当$9 ＜ x_1 ＜ m$时，$b ≤ y_1 ＜ 6$，则$y = 6$时，$(x - 10)^2 + b = 6$，$x = 9$或$x = 11$，故$1 + b = 6$，$b = 5$。