25.(本小题满分 13 分)某数学兴趣组开展“旋转与作图”探究活动.
【探究情境】
有一张矩形纸片 ABCD，$AB=8$，$BC=10$.如图①，沿直线 AC 将矩形纸片 ABCD 裁剪为$△ ABC$和$△ ADC$，将$△ ABC$绕点 A 顺时针旋转得到$△ AEF$，点 B 的对应点为 E.

【补图推证】
(1)当$△ AEF$的边 AF 经过点 D 时，小组探究“如何在仅有$△ ADC$的图中补画$△ AEF$”.在完成了第一步“在射线 AD 上截取$AF=AC$”后，同学们就“如何确定点 E 的位置”先后发言.
小丽：如图②，分别以点 A，F 为圆心，线段 CD，AD 长为半径画弧，两弧相交于点 E.连接 AE，EF，可以依据“”证得$△ AEF≌△ CDA$.
小强：还可以这样画，如图③，作 AF 的垂直平分线，交 AF 于点 M.分别以点 A，M 为圆心，线段 CD，AM 长为半径画弧，两弧交于点 E.连接 AE，EF，也可以证得$△ AEF≌△ CDA$.
小红：是的，点 E 始终在以点 A 为圆心，CD 长为半径的圆上，且 EF 就是该圆的切线.

① 小丽证得$△ AEF≌△ CDA$的依据是；
② 判断小强的说法是否正确，并说明理由.
【画图再探】
(2)记直线 EF 与$△ ADC$的边 AD 的交点为 G，小明提问：当直线 EF 经过点 C 时，能求出 DG 的长吗？请在图④中画出图形，并解决小明提出的问题.
【拓广延伸】
(3)请解决小强提出的问题：当 E，F，D 三点共线时，连接 FC，求$△ FCD$的面积.

(1) ① SSS；② 正确；(2) $\frac{9}{5}$；(3) $\frac{48}{5}$。

25. (13分)
(1) ① SSS
② 正确。理由：由作法知，$AM=MF=\frac{1}{2}AF$，$AE=CD=8$，$ME=AM$。在$△ AEM$中，$AE=8$，$AM=ME=\frac{1}{2}AF$，由余弦定理可证$EF=AD=10$。又$AF=AC$，故$△ AEF ≌ △ CDA(SSS)$。
(2) 如图④，直线$EF$过点$C$，设$G$为$EF$与$AD$的交点。
$\because △ AEF ≌ △ ABC$，$\therefore AE=AB=8$，$EF=BC=10$，$∠ AEF=90°$。
设直线$EF$：$y=kx+b$，过$C(10,8)$，则$8=10k+b$。
点$A(0,0)$到$EF$的距离$AE=8$，即$\frac{|b|}{\sqrt{k^2+1}}=8$。
联立解得$k=\frac{40}{9}$，$b=-\frac{328}{9}$，直线$EF$：$y=\frac{40}{9}x-\frac{328}{9}$。
令$y=0$，得$x=\frac{41}{5}$，即$G(\frac{41}{5},0)$。
$\therefore DG=10-\frac{41}{5}=\frac{9}{5}$。
(3) 当$E,F,D$共线时，$△ AEF$为直角三角形（$∠ AEF=90°$），$AE=8$，$EF=10$，$AF=2\sqrt{41}$。
设直线$ED$：$y=mx-10m$，由$AE=8$及勾股定理得$m=\pm\frac{4}{3}$。
解得$F(\frac{62}{5},\frac{16}{5})$（或对称点，面积相同）。
$F$到$CD$（$x=10$）的距离为$\frac{62}{5}-10=\frac{12}{5}$。
$\therefore S_{△ FCD}=\frac{1}{2}×8×\frac{12}{5}=\frac{48}{5}$。