27. (6分)如图，在平面直角坐标系中，已知$A(0,a)$，$B(b,0)$，其中$a$，$b$满足$|a-2|+(b-3)^2=0$。
(1)求$a$，$b$的值；
(2)如果在第二象限内有一点$M(m,1)$，请用含$m$的式子表示四边形$ABOM$的面积；
(3)在(2)的条件下，当$m=-\frac{3}{2}$时，在坐标轴的负半轴上是否存在点$N$，使得四边形$ABOM$的面积与$△ ABN$的面积相等？若存在，求出点$N$的坐标；若不存在，请说明理由。

27. (1) $a = 2, b = 3$.
(2) 过点 $M$ 作 $MD ⊥ y$ 轴于点 $D$. $\because A(0,2), B(3,0), M(m,1)$ 且在第二象限, $\therefore AO = 2, BO = 3, MD = |m| = -m, \therefore S_{△ ABO} = \frac{1}{2}BO · AO = \frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$, $S_{△ AMO} = \frac{1}{2}AO · MD = \frac{1}{2} × 2(-m) = -m$,
$\therefore S_{四边形ABOM} = S_{△ ABO} + S_{△ AMO} = 3 - m$.
(3) 当 $m = -\frac{3}{2}$ 时, 四边形 $ABOM$ 的面积为 $3 - m = 3 - (-\frac{3}{2}) = \frac{9}{2}$. $\therefore S_{△ ABN} = \frac{9}{2}$.
① 如图 (1), 当点 $N$ 在 $x$ 轴负半轴上时, 设 $N(x,0)$, 则 $BN = 3 - x$, $S_{△ ABN} = \frac{1}{2}BN · AO = \frac{1}{2}(3 - x) · 2 = \frac{9}{2}$, 解得 $x = -\frac{3}{2}$, $\therefore N(-\frac{3}{2},0)$.
② 如图 (2), 当点 $N$ 在 $y$ 轴负半轴上时, 设 $N(0,y)$, 则 $AN = 2 - y$, $S_{△ ABN} = \frac{1}{2}AN · BO = \frac{1}{2}(2 - y) · 3 = \frac{9}{2}$, 解得 $y = -1$, $\therefore N(0,-1)$.
综上所述, 点 $N$ 的坐标为 $N(-\frac{3}{2},0)$ 或 $N(0,-1)$.

28. (6分)
【了解概念】
在平面直角坐标系$xOy$中，若$P(a,b)$，$Q(c,d)$，式子$|a-c|+|b-d|$的值就叫作线段$PQ$的“勾股距”，记作$d_{PQ}=|a-c|+|b-d|$。同时，我们把两边的“勾股距”之和等于第三边的“勾股距”的三角形叫作“等距三角形”。
【理解运用】
在平面直角坐标系$xOy$中，$A(2,3)$，$B(4,2)$，$C(m,n)$。
(1)线段$OA$的“勾股距”$d_{OA}=$；
(2)若点$C$在第三象限，且$d_{OC}=2d_{AB}$，求$d_{AC}$，并判断$△ ABC$是不是“等距三角形”；
【拓展提升】
(3)若点$C$在$x$轴上，$△ ABC$是“等距三角形”，请直接写出$m$的取值范围。

28. (1) 5;
(2) $\because d_{AB} = |2 - 4| + |3 - 2| = 2 + 1 = 3, \therefore d_{OC} = 2d_{AB} = 6$. $\because$ 点 $C$ 在第三象限, $\therefore m ＜ 0, n ＜ 0, d_{OC} = |m - 0| + |n - 0| = |m| + |n| = -m - n = -(m + n)$. $\because d_{OC} = 2d_{AB}, \therefore -(m + n) = 6$, 即 $m + n = -6, \therefore d_{AC} = |2 - m| + |3 - n| = 2 - m + 3 - n = 5 - (m + n) = 5 + 6 = 11, d_{BC} = |4 - m| + |2 - n| = 4 - m + 2 - n = 6 - (m + n) = 6 + 6 = 12$. $\because 3 + 11 ≠ 12, 11 + 12 ≠ 3, 12 + 3 ≠ 11, \therefore △ ABC$ 不是“等距三角形”.
(3) 点 $C$ 在 $x$ 轴上时, 点 $C(m,0)$, 则 $d_{AC} = |2 - m| + 3, d_{BC} = |4 - m| + 2$.
① 当 $m ＜ 2$ 时, $d_{AC} = 2 - m + 3 = 5 - m, d_{BC} = 4 - m + 2 = 6 - m$, 若 $△ ABC$ 是“等距三角形”, 则分以下三种情况:
(i) $5 - m + 6 - m = 3$, 解得 $m = 4$ (不合题意);
(ii) $5 - m + 3 = 6 - m$, 显然不成立;
(iii) $6 - m + 3 = 5 - m$, 显然不成立.
$\therefore$ 当 $m ＜ 2$ 时, $△ ABC$ 不是“等距三角形”.
② 当 $2 ≤ m ＜ 4$ 时, $d_{AC} = m - 2 + 3 = m + 1, d_{BC} = 4 - m + 2 = 6 - m$, 若 $△ ABC$ 是“等距三角形”, 则分以下三种情况:
(i) $m + 1 + 6 - m = 3$, 显然不成立;
(ii) $m + 1 + 3 = 6 - m$, 解得 $m = 1$ (不合题意);
(iii) $6 - m + 3 = m + 1$, 解得 $m = 4$ (不合题意).
$\therefore$ 当 $2 ≤ m ＜ 4$ 时, $△ ABC$ 不是“等距三角形”.
③ 当 $m ≥ 4$ 时, $d_{AC} = m - 2 + 3 = m + 1, d_{BC} = m - 4 + 2 = m - 2$, 若 $△ ABC$ 是“等距三角形”, 则分以下三种情况:
(i) $m + 1 + m - 2 = 3$, 解得 $m = 2$ (不合题意);
(ii) $m + 1 + 3 = m - 2$, 显然不成立;
(iii) $m - 2 + 3 = m + 1$, 恒成立.
$\therefore$ 当 $m ≥ 4$ 时, $△ ABC$ 是“等距三角形”.
综上所述, $△ ABC$ 是“等距三角形”时, $m$ 的取值范围为 $m ≥ 4$.